5. Кручение круглых валов

Кручением называется такой вид нагружения (деформации), при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T(рис 5.1). Этот вид нагружения возникает при приложении к брусу пар сил, плоскости действия которых перпендикулярны его оси. Такие брусья принято называть валами.

Внешние пары, приложенные к валу, будем называть скручивающими моментами. Они могут быть сосредоточенными М₁, М₂, …, М_n или распределенными m по длине вала l. Крутящий момент является равнодействующим моментом напряжений, возникающих в каком-либо  сечении вала относительно его продольной оси.

Внутренний крутящий момент

При определении величины крутящего момента используется метод сечений. Суть его заключается в следующем: рассекаем вал сечением и отбрасываем одну из частей вала, расположенную либо справа, либо слева от сечения.

Обычно отбрасывают ту часть, к которой приложено больше скручивающих пар. Действие отброшенной части на рассматриваемую заменяют внутренним силовым фактором – крутящим моментом T. Затем из условий равновесия остановленной части вала определяют крутящий момент:

T = М_к= Σ М_i .              (5.1)

Таким образом, крутящий момент в каком либо сечении вала является уравновешивающей парой сил всех внешних скручивающих пар, приложенных либо слева, либо справа от рассматриваемого сечения.

Рис. 5.1

Угол сдвига

Напряжения при кручении

Распределение касательных напряжений

Максимальное касательное напряжение

Геометрические характеристики круглых сплошных сечений вала:

- полярный момент инерции

- полярный момент сопротивления

Деформации вала

Угол закручивания:

- относительный

- абсолютный

Условия прочности и жесткости вала

Расчет вала при кручении сводится к одновременному удовлетворению двух условий:

- условия прочности:

- условия жесткости:

6. Прямой поперечный изгиб

Поперечным изгибом называется такой вид деформирования бруса, при котором внешние нагрузки действуют перпендикулярно к его продольной оси. Деформация изгиба заключается в искривлении оси бруса. Брус с прямой осью, работающий на изгиб, называется балкой. Если плоскость действия внешних нагрузок проходит через ось балки и одну из главных центральных осей поперечного сечения, изгиб называется прямым. В этом случае ось балки искривляется в плоскости действия нагрузок и является плоской кривой.

В сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_y

Правила контроля построения эпюр Q и М при изгибе (рис. 6.1). 

Дифференциальные зависимости между q, Q_y и М_х имеют вид:

1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, - на эпюре Q_y скачок по модулю равный этой силе, на эпюре М_х – излом навстречу силе.

2. В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, - на эпюре М_х скачок по модулю равный этой паре сил. На эпюре Q_y это не сказывается.

3.Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то Q_y изменяется по линейному закону, М_х – по параболе, выпуклостью навстречу нагрузке q (М_х = М_экстр – в сечении, где Q_y меняет свой знак).

Рис. 6.1

Изгиб называется чистым, если в сечении балки возникает только изгибающий момент М_х.

Расчет на прочность при изгибе

Нормальные напряжения

Рис. 6.2

Из балки, нагруженной только изгибающим моментом рис. (6.2) вырежем фрагмент длинной dz, (рис. 6.3)

Рис. 6.3

При изгибе кривизна оси балки:

относительное удлинение слоя ab   (рис. 6.4).

Рис. 6.4

Распределение нормальных напряжений: по ширине сечения равномерное (const), по высоте сечения    

максимальные нормальные напряжения в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения.

Условие прочности при изгибе балок по нормальным напряжениям:

Касательные напряжения

При поперечном изгибе в сечениях кроме М_х возникает поперечная сила Q_x, вызывающая касательные напряжения:

где S_x^отс -статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно центральной оси ох.

Проверка балок по касательным напряжениям:

Так в одном и том же поперечном сечении одновременно возникают и нормальные и касательные напряжения, производим проверку по главным напряжениям с использованием, например, III теории прочности

Расчет на жесткость при изгибе

В большинстве случаев конструкции претерпевающие изгиб, кроме расчета на прочность, рассчитываются и на жесткость, при этом должно выполняться условие:      

                        

f ≤ [f]                   (6.6)

где f – действительный прогиб (максимальное вертикальное перемещение элемента конструкции);

[f] – допустимый или предельный прогиб, устанавливаемый в зависимости от конкретного элемента конструкции, например по СНиП 2.02.07-85, [f]=l/120…l/160;

l – пролет балки (у консоли – двойной вылет).

Рис. 6.5

Изгиб балки или рамы сопровождается искривлением ее оси. Перемещения балки в сечении z подразделяются на линейные – прогиб у и смещение z и угловые – угол поворота  (рис 6.5).

Осевые перемещения, как правило, несоизмеримо малы, т.е. z<<y и ими пренебрегают.

Искомые перемещения при изгибе у и  могут быть найдены следующими методами:

а) методом начальных параметров (МНП);

б) энергетическим методом.

Для балок с прямой осью и постоянным сечением деформации лучше определять по методу начальных параметров или по способу Верещагина. Без всяких ограничений можно применять метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии и интеграл Мора.

Метод начальных параметров

Рис. 6.6

Энергетические методы

интеграл Мора (рис. 6.7)

Рис. 6.7

способ Верещагина (рис. 6.8)

Рис. 6.8

При разделении сложных фигур преимущество отдают треугольникам и симметричным параболам (рис. 6.9).

Рис. 6.9