2-й семестр / Электричество и магнетизм. Колебания и волны. Курс лекций

E =

q

,

r ≥ R

(21)

4pe0 r 2

Таким образом, работа сил не

зависит от формы пути. Она является

только

функцией

начального

и

конечного положения заряда.

Можно

показать,

что

данное

утверждение справедливо для поля,

создаваемого

любым

заряженным

телом.

В

механике

такие

силы

мы

называли консервативными, а поля,

работа сил которых не зависит от

формы

, пути называются

потенциальными полями.

Рис.1

По замкнутой траектории L работа равна нулю, т. к.

r1 = r2 ,

т. е.

r r

r r

r

r

(2)

ò Fdl = òq' Edl = 0 или

ò Edl = 0 ,

L

L

L

A12

= Wn1 -Wn 2

=

qq'

(

1

-

1

) .

(3)

4pe0

r1 r2

W n

=

qq '

+ C .

4pe 0 r

При

r ® ¥

потенциальная

энергия должна

обращаться

в

нуль, поэтому

значение

постоянной C полагаем равным нулю. В итоге получаем, что

W =

qq'

.

(4)

n

4pe0r

Величину

j = Wn / q'

(5)

называют потенциалом электрического поля в данной точке. Потенциал j ,

наряду с

r

напряженностью электрического поля E , используется для описания электрического

поля, являясь его энергетической характеристикой. Потенциал точечного заряда q, как

следует из (4) и (5),

j =

qq'

1

=

1

q

,

(6)

4pe0r q'

4pe0

r

т. е.

j ~ q / r

(прямо

пропорционален

величине

заряда

и

обратно

пропорционален

расстоянию от него). Потенциал в СИ измеряется в вольтах: 1 В= 1Дж/1 Кл.

Если поле создает система точечных зарядов q1, q2 ,...qn , то потенциал

1

n

q

j =

å

i

.

(7)

4pe

0

i =1

r

i

Из формулы (5) вытекает,

что

заряд q',

находящийся

в

точке поля с

потенциалом j , обладает потенциальной энергией

Wn = q'j .

(8)

Следовательно, работу сил поля над зарядомq' можно выразить через разность

потенциалов

A12 = Wn1 -Wn 2

= q'(j1 -j2 ) = q'U ,

(9)

здесь

j1 -j2

= U -

разность

потенциалов

между двумя

точками,

котораяполя

называется напряжением. Напряжение U = j1 -j2 тоже измеряется в вольтах.

2.3. Эквипотенциальные поверхности

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал,

называется эквипотенциальной поверхностью.

Ее уравнение имеет вид

j(x, y, z) = const .

(10)

Рис.2

Для точечного заряда q, согласно (6),

j =

1

q

4pe0

r

и эквипотенциальной поверхностью является сфера радиуса r.

При перемещении заряда q' вдоль эквипотенциальной поверхности на отрезок dl

потенциал не изменяется, т. е. dj = 0, следовательно,

dA = -q' dj = 0 .

(11)

С другой стороны

r r

r r

= q'Edrcosa

dA= Fdr

= q' Edr

и равна нулю, следовательно, a =

90°,

т.о.

вектор

напряженности

электрического

поля

r

в

данной

E

точке

всегда

перпендикулярен

эквипотенциальной поверхности

Рис.3

2.4. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом

Напряженность

электрического

поля

и потенциал

используются для описания

электрического поля.

r

j - скалярная

E - векторная величина (силовая характеристика),

величина (энергетическая характеристика). Они связаны между собой.

r

и потенциальной

Используем соотношение между консервативной силойF

энергией Wp, уже известное из раздела «Механика»:

r

F = -gradWp = -ÑWp ,

где

¶W

p

r

¶W

p

r

¶W

p

r

gradWp = ÑW =

i +

j +

k

¶x

¶y

¶z

E = -dj / dl

(13)

r

Из

формул (12),

(13)

видно, что напряженность электрического

поляE

измеряется в В/м.

2.5. Полярные и неполярные диэлектрики

Перейдем к рассмотрению электрического поля в диэлектриках

Все

вещества

по

электропроводности

разделяются

на

проводник

проводников являются металлы, растворы или расплавы солей, кислот, щелочей.

Диэлектриками

или

изоляторами

называются

вещества,

которых

нет

становиться свободными. Молекулы

диэлектрика электронейтральны: суммарный

заряд электронов и атомных ядер, входящих в состав молекулы, равен нулю. В первом

приближении молекулу можно рассматривать как диполь с электрическим моментом

r

r

r

p = ql ; здесь q - заряд ядра молекулы,

l - вектор, проведенный из "центра тяжести"

электронов в "центр тяжести"

положительных зарядов

атомных

ядер(в

1.4

r

l

называли плечом диполя).

Различают два основных типа диэлектриков: полярный и неполярный.

Диэлектрик называют неполярным, если в его молекулах в отсутствие внешнего

электрического поля

центры

тяжести отрицательных

и

положительных

зарядо

совпадают, например,

H2 ,O2 , N2.

r

r

т. к.

r

И,

Для них дипольный моментp = ql = 0 ,

l = 0 .

n

r

следовательно, суммарный дипольный момент неполярного диэлектрика åi =1 pi = 0 .

зарядов разных знаков

сдвинуты друг относительно друга. В этом случае молекулы

r

r

¹ 0 . Но эти дипольные моменты в

обладают собственным дипольным моментом p = ql

отсутствие внешнего

электрического поля

из-за теплового движения моле

3) ИОННАЯ:

она

наблюдается в

твердых

кристаллических

диэлектриках,

когда

внешнее поле

вызывает смещение

положительных

момента малого объема диэлектрика к величине этого объема

DV , т. е.

n

r

å pi

r

P =

i =1

,

(14)

в СИ [Р] = Кл / м2.

DV

Таким

образом,

вектор

поляризованности

диэлектрика

равен дипольному

моменту единицы объема поляризованного диэлектрика.

Как

показывает

, опыту

изолированных

диэлектриков

векто

поляризованности для

не слишком

r

пропорционален

напряженности

большихE

электрического поля, т.е.

r

r

P = æe0 E ,

(15)

Итак,

при

внесении

диэлектрика

в

электрическое поле с

напряженностью

r

происходит

E0

– +

– +

–

+

поляризация

диэлектрика,

в

результате

которой

возникает

поле

связанных

зарядов,

направленное

против внешнего поля.

Напряженность поля связанных

r

зарядов обозначим через E ' ,

Рис.4

оказывается, она пропорциональна напряженности поля в диэлектрике, т.е. E' = æE ,

поэтому напряженность поля в диэлектрике

r

r

r

или

E = E0

- E' = E0 - æE ,

E = E0 + E'

откуда

E =

E0

=

E0

(16)

e

1 + æ

где величину

e =1 + æ

(17)

называют относительной диэлектрической проницаемостью

вещества или среды; e -

2.8. Теорема Гаусса - Остроградского для поля в диэлектрике. Связь векторов

r

D -

r

- напряженности и

r

- поляризованности

смещения, E

P

r

в вакууме имела вид:

Теорема Гаусса - Остроградского для потока вектора E

n

r r

åqi

n

FE = ò EdS =

i=1

, или

òe0 Ed S = åqi = q,

e0

S

S

i=1

òe0 EdS =. qсвоб + qсвяз

(18)

S

Можно показать, что

qсвяз = -òPd S .

S

ò(e0 E + P)d S = qсвоб

(19)

r r

r

S

Величину

(20)

e0 E + P = D

называют вектором электрического смещения или вектором электрической индукции.

r

r

r

Она измеряется, как и P , в Кл/м2. Учитывая, что P = æe0 E , находим

r

r

r

r

(21)

D = e0 E + æe0 E = e0 (1 + æ)E = e0e E .

Линии вектора D

могут

начинаться или

заканчиваться

лишь на свободных

зарядах, а линии E - на свободных и связанных. С учетом (20) формула (19) запишется

так

n

òDd S = åq iсвоб =Qсвоб,

(22)

S

i =1

Из

теоремы Гаусса-Остроградского

(22)

для

поля

в

диэлектрике

на

границе

раздела

двух

диэлектриков

имеем

Рис.5

r

r

D2n = D1n ,

откуда

e2 E 2n = e1 E 1n .

D2t

=

D1t

,

e2

e1

откуда

Е1τ = Е2τ .

с

Таким

образом, на границе

раздела двух диэлектриков касательные-

ставляющие

напряженности

электрического

поля

изменяются

непрерывно, а

будем говорить о металлических проводниках,

которых

носителями свободных

зарядов являются электроны.

Электроны в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно

малой силы,

r

v

r

то

для равновесия(покоя) электронов

в проводнике

т.к. F = qE = eE ,

необходимо, чтобы:

1) напряженность поля внутри проводника равнялась нулю:

r

(1)

r

E = 0 .

Поскольку

= -grad j , ,

то

равенство

r

означает, что

потенциал

внутри

E

нулю E

проводника должен быть постоянным:

j = const .

(2)

Из (2) следует, что

поверхность проводника и весь проводник

являютс

эквипотенциальной поверхностью;

2)

напряженность

поля

на поверхности

проводника

должна

быть

в

каждой

точке

направлена

по

нормали

к поверхности, . е.

r

r

касательная

E = En , а

составляющая

r

(3)

Et =0

Используя

теорему

Гаусса-Остроградского, легко

показать, что

вблизи

поверхности заряженного проводника

E =

s

.

(4)

e0e

поле, направленное

против внешнего

так, что внутри

r

линии

проводника E = 0 и

напряженности будут разорваны поверхностью проводника, заканчиваясь на

индуцированных

отрицательных

зарядах

и

начинаясь

на

индуцированных

–

+

–

+

положительных

инд

(на рис. 1 - сплошные линии).

–

+

результ

3.2. Электрическая емкость

Будем

сообщать

уединенному

проводнику

разные

по

величине за

q1,q2,...qn.

При этом

проводник

будет

иметь

разные

по

величине

потенци

j1,j2,...jn .Оказывается отношение

q1

=

q2

= ... =

qn

-

есть

величина постоянная

для

j2

jn

j1

данного проводника и не зависит от величины сообщенного заряда, а зависит только

от

геометрической

формы

проводника

и

диэлектрической

проница

окружающей его среды.

т.е.

Это отношение дает величину электроемкости уединенного проводника,

C=q/ j .

(5)

Электрическая емкость характеризует способность проводника накапливать

электрический заряд и измеряется в фарадах: 1Ф= 1Кл /

1В (однако 1 Ф – очень

большая емкость, реальные емкости составляют 10-3 ÷ 10-12 Ф).

Потенциал заряженного шара радиусаR равен

j = q / 4pe0 R ,

с учетом этого

находим емкость уединенного шарового проводника:

C = q /j = 4pe0 R ,

(6)

т.е. оказывается , что С пропорциональна радиусу шарового проводника R.

Подсчитаем емкость Земного шара, имеющего радиус R » 6400 км » 6,4 ×106

м.

C = 4p

1

×6,4 ×106

» 7 ×10-4

Ф = 700 мкФ.

4p 9 ×109

Для получения большей емкости используют конденсаторы в виде двух проводников,

помещенных близко друг от друга. В этом случае емкость

C =

q

=

q

.

(7)

j1 - j2

U

Для плоского конденсатора(см. рис.

2),

U = Ed,

E =

s

=

q

,

S

S

e0e

e0eS

тогда по формуле (7) можно найти

C =

q

=

e0eS

,

(8)

Ed

d

где

e

–

диэлектрическая

проницаемость

вещества

Рис.2

пластинами

C

)

С

СΣ= C1+C2+…+ Cn=ΣCi

(9)

что согласно (7) можно переписать как

q

=

q

+

q

+... q .

Cå C1 C2

Cn

Отсюда

1

=

1

+

1

+...

1

=å

1

,

(10)

C

C

C

C

C

å

1

2

n

i

бесконечности на проводник, будет

dA = jdq = Cjdj.

(11)