Семинар №9

Тема: Магнитостатика

.Закон Био-Савара-Лапласа: , где

- магнитная постоянная

Закон Ампера:

Принцип суперпозиции:

Схема решения задач магнитостатики с помощью закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции.

I. Сделать чертёж в соответствии с условием задачи – рис.4.1.

II. Выбрать произвольный бесконечно малый элемент длины проводника с током силой I; вектор направлен по касательной к проводнику вдоль направления тока в том месте, где выбран (рис.4.1) – произведение () называют элементом тока.

Провести вектор от элемента тока до заданной точки А, в которой надо определить величину и направление напряжённости или магнитной индукции .

III. Записать в векторном виде закон Био-Савара-Лапласа для выбранного элемента тока ():

(4.1)

Используя правило векторного произведения (см. семинар №1, стр.9-10), определить направление вектора , созданного элементом тока в заданной точке А.

IV. Определить в этой же точке А направления векторов , созданных другими элементами тока данного проводника.

По возможности определить направление результирующего вектора в данной точке, общую конфигурацию поля в пространстве и записать модуль вектора :

(4.2

V. Далее учесть, что возможны 2 случая:

а) если в заданной точке А все векторы , созданные различными элементами тока, направлены вдоль одной прямой, то, применяя принцип суперпозиции (используя для этого интегрирование выражения (4.2)), найти величину результирующего вектора :

(4.3)

b) если в заданной точке А вектора , созданные различными элементами тока, направлены по-разному, то надо ввести в этой точке систему координат ХY, разложить вектор , созданный произвольным элементом тока, на составляющие и , введя угол между вектором и осью Х:

и, используя принцип суперпозиции, рассчитать составляющие и результирующего вектора :

(4.4)

(4.5)

Определить величину результирующего вектора магнитной индукции в заданной точке поля с помощью теоремы Пифагора:

(4.6)

Найти угол , задающий направление вектора по отношению к оси Х: (4.7) Зная , можно определить напряжённость магнитного поля :

(4.8)

здесь - магнитная проницаемость среды. Для вакуума (воздуха) =1.

Задача 1.

Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода длиной l=40 см, в точке, удаленной от концов отрезка на расстояния l₁=50 см и l₂=30 см. Сила тока текущего по проводу, равна I=50 А.

Решение:

Согласно закону Био-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля , создаваемого током I, протекающим по элементу провода длиной dl в точке, находящейся на расстоянии r от dl, определяется выражением:

,

где – вектор, равный по модулю длине отрезка dl и совпадающий по направлению с током, – радиус-вектор, проведенный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция, магнитная проницаемость, _магнитная постоянная. Геометрия задачи показана на рис. 1.

Рис.1

Для модуля вектора магнитной индукции имеем выражение

, (1)

где  - – угол между векторами и . Из условия задачи следует, что провод находится в немагнитной среде (в воздухе) и, следовательно, =1.

Пусть элемент проводника dl виден из точки А под углом d, а расстояние от точки А до провода равно r₀. Из рисунка следует, что

, .

Подставляя эти выражения в формулу (1), получим:

.

Далее необходимо использовать принцип суперпозиции, чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника. Для этого проинтегрируем полученное выражение по углу в пределах от _до₂ .

.

Взяв интеграл, получаем:

. (2)

Из условия задачи следует, что (2500=1600+900), то есть _^cos_ r₀= l₂=30 см, cos _

Подставляя численные значения, получим B=13,3 мкТл.

Ответ: B=13,3 мкТл

Задача 2

Найти магнитную индукцию на оси (в произвольной точке С) кругового витка радиуса R с током силой I. Определить минимальное и максимальное значения В.

Решение:

1. Сделаем чертеж (рис. 4.2).

2. Выберем произвольный элемент длины кругового тока. Направление вектора совпадает с направлением тока в месте расположения этого элемента (на рис.4.2 направления векторов и показаны как: и ).

Проведём радиус-вектор от элемента к заданной точке С. Обозначим расстояние от С до центра витка через z.

Заметим, что все элементы тока находятся от точки С на расстоянии r=const.

3. Запишем закон Био-Савара-Лапласа (4.1) для произвольного элемента :

(4.8)

индукция в точке С, создана бесконечно малым элементом тока ().

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат соответствующие вектора и , и направлен в соответствии с правилом правого винта (см. семинар №1, стр.9-10) так, как показано на рис.4.2 – под углом к оси Z.

IV. Любой другой элемент кругового тока I создает в точке С индукцию , направленную к оси кольца Z также под углом , причём, в заданной точке С различные векторы направлены не по одной прямой (их множество образует конус с вершиной в точке С). Так как в данном случае реализуется ситуация, изложенная в схеме решения на стр.74 (п.V (б)), то необходимо ввести систему координат XYZ (ХY-горизонтальная плоскость), как показано на рис. 4.2. В силу симметрии задачи, проекции множества векторов на плоскость XY взаимно компенсируются, а проекции () на ось Z дают вклад в результирующую величину магнитной индукции В в точке С.

Запишем модуль вектора dB:

(4.9)

Так как вектор перпендикулярен вектору , то.

Таким образом,

(4.10)

V. Проекция на ось Z (рис.4.2) равна:

(4.11)

из рис.4.2 следует, что

; и

Подставив в (4.10) два последних равенства и используя выражение (4.11), получим:

Теперь для определения модуля результирующей магнитной индукции В в точке С можно применить принцип суперпозиции в виде интегрирования последнего равенства для , вынося все константы за знак интеграла и выбрав пределы интегрирования по l от 0 до .

(4.12)

В соответствие с (4.12) величина является функцией расстояния z. Очевидно, что минимальное значение будет при , а максимальное значение - при , то есть в центре кольца.

Ответ: Вектор направлен вдоль оси витка, перпендикулярно его плоскости и равен:

Очевидно: при ,

при (в центре витка с током).

На рис. 4.3 показана пространственная конфигурация силовых линий магнитной индукции вокруг кольца с током (- магнитная индукция в центре кольца - т. 0).