2.1.2 Идеальный газ: основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Температура, тепловое равновесие, абсолютная температура

Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул на их среднюю кинетическую энергию.

Газ окружает нас со всех сторон. В любом месте на земле, даже под водой, мы носим на себе часть атмосферы, нижние слои которой сжимаются под действием силы тяжести верхних. Поэтому, измеряя атмосферное давление можно судить о том, что происходит высоко над нами и предсказывать погоду. Что же такое давление газа, и как крошечные молекулы воздуха его создают?

Давлением p на данном участке поверхности, называют отношение силы F, действующей перпендикулярно этой поверхности к площади S данного её участка:

(30)

Единицей измерения давления в СИ служит Паскаль (Па). 1 Па = 1 Н/м².

Чтобы объяснить, как молекулы газа могут оказывать давление на поверхности, огранивающие его объём, допустим, что расстояние между молекулами намного превышает их размеры, и поэтому молекулы не взаимодействуют между собой, а лишь время от времени сталкиваются, как упругие шарики, и при этом их общая кинетическая энергия сохраняется. Такой газ называют идеальным.

(31)

Найдём силу F, с которой действует молекула массой m₀ на поверхность, от которой она отскакивает. При отражении от поверхности, длящемся промежуток времени Dt, составляющая скорости молекулы, перпендикулярная этой поверхности, v_y изменяется на обратную (-v_y). Поэтому при отражении от поверхности молекула приобретает импульс, 2m₀v_y , а значит, по третьему закону Ньютона 2m₀v_y =FDt, откуда:

Формула (31) даёт возможность вычислить силу, с которой давит одна молекула газа на стенку сосуда в течение интервала Dt. Чтобы определить среднюю силу давления газа, например, за одну секунду, надо найти, сколько молекул отразится за секунду от участка поверхности площадью S, а также необходимо знать среднюю величину скорости v_y молекул, движущихся в направлении к данной поверхности.

Пусть в единице объёма газа находится n молекул. Упростим себе задачу, считая, что все молекулы газа движутся с одинаковой скоростью, v. При этом 1/3 всех молекул движется вдоль оси Ox, и столько же – вдоль оси Oy и Oz. Пусть половина молекул, движущихся вдоль оси Oy, движется в сторону стенки С, а остальные – в противоположную сторону. Тогда, очевидно, количество молекул в единице объёма, несущихся в сторону стенки С, составит n/6.

Найдём теперь количество молекул, ударившихся об участок поверхности площадью S за одну секунду. Очевидно, что за 1 с до стенки успеют долететь те молекулы, которые движутся в её сторону и находятся на расстоянии, не большем v. Поэтому ударятся об этот участок поверхности 1/6 всех молекул, находящихся в прямоугольном параллелепипеде, длина которого равна v, а площадь торцевых граней - S. Так как объём этого параллелепипеда составляет Sv, то общее число N молекул, ударившихся об участок поверхности стенки за 1 с будет равно:

(32)

Используя (31) и (32) можно вычислить импульс, который за 1 с сообщил молекулам газа участок поверхности стенки площадью S. Этот импульс численно будет равен силе давления газа, F:

откуда, используя (30), получаем следующее выражение, связывающее давление газа и среднюю кинетическую энергию поступательного движения его молекул:

(33)

где Е_СР – средняя кинетическая энергия молекул идеального газа. Формулу (33) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов.

Тепловое равновесие между телами возможно только тогда, когда их температура одинакова.

Прикоснувшись рукой к любому предмету, мы легко можем определить, тёплый он или холодный. Если температура предмета ниже температуры руки, предмет кажется холодным, а если наоборот, то - тёплым. Если зажать в кулаке холодную монету, то теплота руки начнёт нагревать монету, и через некоторое время её температура станет равной температуре руки, или, как говорят, наступит тепловое равновесие. Поэтому температура характеризует состояние теплового равновесия системы из двух или нескольких тел, имеющих одну и ту же температуру. Так, говоря, что температура нашего тела равна 36 ^оС, мы подразумеваем, что градусник подмышкой находится в тепловом равновесии с окружающими тканями, когда он показывает 36 ^оС.

Температура наряду с объёмом и давлением газа являются макроскопическими параметрами. Для измерения температуры используют термометры. В некоторых из них регистрируют изменение объёма жидкости при нагревании, в других – изменение электрического сопротивления и т.п. Самой распространённой является температурная шкала Цельсия, названная так в честь шведского физика А. Цельсия. Чтобы получить температурную шкалу Цельсия для жидкостного термометра, его сначала погружают в тающий лёд и отмечают положение конца столбика, а потом - в кипящую воду. Отрезок между этими двумя положениями столбика делят на 100 равных частей, считая, что температура таяния льда соответствует нулю градусов шкалы Цельсия (^оС), а температура кипящей воды – 100 ^оС (см. рис. 6а).

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (33) связывает между собой давление газа, концентрацию молекул и их среднюю кинетическую энергию. Однако средняя кинетическая энергия молекул, как правило, неизвестна, хотя результаты многих опытов говорят о том, что скорость молекул увеличивается с ростом температуры Зависимость средней кинетической энергии молекул газа от его температуры можно получить из закона открытого французским физиком Ж. Шарлем в 1787 году.

Согласно закону Шарля, если объём данной массы газа не меняется, его давление p_t линейно зависит от температуры t:

(34)

где t – температура газа, измеренная в ^оС, а p₀ – давление газа при температуре 0 ^оС (см. рис. 6б). Таким образом, из закона Шарля следует, что давление газа, занимающего неизменный объём, пропорционально сумме (t+273 ^оС). С другой стороны, из (33) вытекает, что, если концентрация молекул постоянна, т.е. объём, занимаемый газом, не изменяется, то давление газа должно быть пропорционально средней кинетической энергии молекул. Значит, средняя кинетическая энергия, Е_СР молекул газа, просто, пропорциональна величине (t+273 ^оС):

(35)

где b – постоянный коэффициент, значение которого мы позже определим. Из (35) следует, что средняя кинетическая энергия молекул станет равной нулю при -273 ^оС. Исходя из этого, английский учёный У. Кельвин в 1848 г. предложил использовать абсолютную температурную шкалу, нулевая температура в которой соответствовала бы -273 ^оС, а каждый градус температуры был бы равен градусу шкалы Цельсия. Таким образом, абсолютная температура, T связана с температурой t, измеренной по шкале Цельсия, следующим образом:

(36)

За единицу абсолютной температуры в СИ принят Кельвин (К).

(37)

Учитывая (36), уравнение (35) преобразуется в:

(38)

подставляя которое в (33), получаем следующее:

(39)

(40)

Чтобы избавиться от дроби в (38), заменим 2b/3 на k, и получим вместо (37) и (38) два очень важных уравнения:

где k – постоянная Больцмана, названная в честь Л. Больцмана. Эксперименты показали, что k=1,38.10^-23 Дж/К. Таким образом, давление газа и средняя кинетическая энергия его молекул пропорциональны его абсолютной температуре.

Рисунок 6 (а) – Градуировка термометра по шкале Цельсия;

(б) – Графическое представление закона Шарля.