2.1.3 Уравнение состояния идеального газа. Закон Авогадро. Изопроцессы в газах: газовые законы

Уравнение состояния идеального газа связывает между собой три его макроскопические характеристики – занимаемый газом объём, его давление и температуру.

Мы вывели формулу, связывающую давление идеального газа, p, концентрацию молекул в нём, n, и его абсолютную температуру, Т:

p = nkT , (41)

где k – постоянная Больцмана. Однако в большинстве случаев пользоваться формулой (41) неудобно, т.к. величина n, как правило, неизвестна, а мы лишь знаем, какой это газ и какой объём он занимает. Чтобы в этих случаях формулой (41) было пользоваться проще, преобразуем её следующим образом. Пусть газ, состоящий из N молекул, находится в сосуде объёмом V. Тогда концентрация, n молекул равна:

(42)

где m и n - масса и количество вещества, содержащееся в газе с молярной массой M и объёмом V, а N_A – число Авогадро. Подставляя (42) в (41), получаем:

(43)

Произведение kN_A обозначают буквой R и называют универсальной (молярной) газовой постоянной, которая равна 8,31 Дж/(моль^.К). Заменяя kN_A на R в формуле (43), получаем:

(44)

Уравнение (44) называют уравнением состояния идеального газа или уравнением Менделеева-Клапейрона, названным в честь русского учёного Д.И. Менделеева и французского физика Б. Клапейрона. Формула (44) определяет взаимозависимость трёх макроскопических характеристик данной массы газа, определяющих его состояние, – давления, объёма и температуры.

Уравнение Менделеева-Клапейрона позволяет вычислить одну из пяти переменных (p, V, m, M и T), если значения остальных четырёх известны. Можно, например, найти молярную массу, М газа, т.е. определить его относительную молекулярную массу, если измерить его давление, объём, массу и температуру.

Из уравнения (44) следует, что если данная масса газа находится в состоянии 1, в котором её давление, объём и температуры равны p₁, V₁ и T₁, соответственно, а потом переходит в состояние 2 (см. рис. 7а), в котором её давление, объём и температуры становятся равными p₂, V₂ и T₂, то:

(45)

Уравнение (45), называемое уравнением Клапейрона, позволяет вычислить значение одной из макроскопических характеристик газа в состоянии 2, если остальные две известны.

Возьмём одинаковое число молей n двух разных газов (А и Б). Пусть эти газы имеют одинаковую температуру T₀ и давление p₀. Тогда из уравнения (44) следует, что объёмы этих газов, V_А и V_Б, тоже равны:

(46)

Таким образом, при одинаковых давлении и температуре равные объёмы различных газов содержат одинаковое количество вещества, т.е. молекул. Этот вывод называют законом Авогадро. Из закона Авогадро и формулы (46) следует, что при нормальных условиях, т.е. при температуре 0^оС (Т₀=273 К) и нормальном атмосферном давлении (p₀=101325 Па), газ, взятый в количестве 1 моль, занимает объём 0,0224 м³ или 22,4 литра (см. рис. 7б).

Рисунок 7 (а) – Связь между параметрами газа в двух его состояниях; (б) – Связь между параметрами одного моля газа при нормальных условиях.

Из уравнения Менделеева - Клапейрона следуют законы, по которым изменяется состояние газов, когда один из параметров – температура, давление или объём остаются неизменным.

В большинстве случаев при переходе газа из одного состояния в другое меняются все его параметры – температура, объём и давление. Так происходит, когда газ сжимается под поршнем в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, в результате чего температура газа и его давление растут, а объём уменьшается. Однако в некоторых случаях изменения одного из параметров газа относительно малы или вообще отсутствуют. Такие процессы, где один из трёх параметров – температура, давление или объём остаются неизменными, называют изопроцессами, а законы, которые их описывают – газовыми законами.

Изотермическим процессом называют изменение состояния газа, при котором его температура остаётся постоянной. Примером такого процесса может служить накачивание воздухом автомобильных шин. Однако изотермическим такой процесс можно считать, если сравнивать состояние воздуха перед тем, как он оказался в насосе, с его состоянием в шине после того, как температура шины и окружающего воздуха стали равными. Любые медленные процессы, происходящие с малым объёмом газа, окружённым большой массой газа, жидкости или твёрдого тела, имеющей постоянную температуру, можно считать изотермическими.

Из уравнения состояния идеального газа (44) следует, что при изотермическом процессе произведение давления данной массы газа на его объём есть величина постоянная. Этот закон, называемый законом Бойля-Мариотта, был открыт английским учёным Р. Бойлем и французским физиком Э. Мариоттом и записывается в следующем виде:

(47)

График, иллюстрирующий, как изменяется давление газа в зависимости от его объёма при изотермическом процессе, называют изотермой и имеет вид гиперболы (см. рис. 8а). Видно, что расширение газа при изотермическом процессе сопровождается падением его давления.

Изобарным процессом называют изменение состояния газа, происходящее при постоянном давлении. Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона (44) при изобарном процессе отношение объёма данной массы газа к его температуре постоянно. Этот вывод, который называют законом Гей-Люссака в честь французского учёного Ж. Гей-Люссака, можно записать в виде:

(48)

График, показывающий, как объём газа зависит от его температуры при изобарическом процессе, называют изобарой, которая, как видно на рис. 8б, является прямой, проходящей через начало координат. На самом деле, при достаточно низких температурах все газы превращаются в жидкости, к которым газовые законы уже неприменимы. Поэтому изобары на рис. 8б вблизи начала координат показаны пунктиром.

Процесс, при котором изменяется состояние газа, а его объём остаётся неизменным, называют изохорным. Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует, что у газа, занимающего постоянный объём, отношение его давления к температуре тоже должно быть постоянным:

(49)

Уравнение (49) описывает закон Шарля, с которым мы уже встречались ранее. Зависимость между давлением и температурой газа при изохорном процессе называют изохорой, которая является прямой (см. рис. 8в).

Рисунок 8 а, б, в – Изотермы, изобары и изохоры идеального газа, соответственно.