2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 08
.pdfЛекция 8. Линейные операторы
8.1. Оператор простого типа
Определение 1. Линейный оператор называется диагонализируемым, если существует базис, относительно которого его матрица является диагональной.
Определение 2. Линейный оператор, имеющий в некотором базисе диагональную матрицу называется оператором простого типа или оператором простой структуры..
Пусть в линейном пространстве n задан оператор |
ˆ |
1, 2 , ... , n |
- n |
A . Пусть |
различных собственных чисел. По теореме 4. 2) (лекция 6), относящиеся к ним собственные векторы u1,u2 , ... ,un - линейно независимы, следовательно, образуют базис в n . Найдем
матрицу оператора |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
||
A в базисе из собственных векторов u1,u2 , ... ,un . Подействуем на |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
данные базисные векторы оператором A : |
|
|
|||||||
ˆ |
|
0u2 |
... 0un - по определению собственного значения |
||||||
A(u1 ) 1u1 1u1 |
|||||||||
ˆ |
0u1 |
2u2 ... 0un |
|
|
|
||||
A(u2 ) 2u2 |
|
|
|
||||||
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
0u1 |
0u2 |
... nun |
|
|
|
|||
A(un ) nun |
|
|
|
||||||
|
|
|
u1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда Au D |
0 |
u2 |
... |
0 |
|
- матрица оператора |
ˆ |
||
... |
... |
... |
... |
|
A в базисе из его собственных |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
un |
|
|
|||
векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1. Линейный оператор ˆ является диагонализируемым (оператором простого
A
типа) тогда и только тогда, когда в линейном пространстве существует базис, из собственных векторов этого оператора.
|
|
ˆ |
|
|
Пример 1. Линейный оператор A , действующий в линейном пространстве 2 , задан |
||||
1 2 |
Ae |
1 |
0 |
|
|
|
|
||
в базисе {e} {e , e } матрицей |
|
|
. |
|
|
|
2 |
3 |
|
Решение.
1. Составим характеристическое уравнение данного преобразования: Ae E 0 .
|
|
|
0 |
|
|
A E |
|
|
1 |
( 1)( 3) 0 |
|
|
|||||
e |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2. Корни уравнения |
1 |
1, алг кратность 1 |
- собственные значения линейного |
||
|
|
|
3, алг кратность 1 |
||
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
оператора ˆ .
A
3. Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению.
3.1. 1 1. Решим матричное уравнение (Ae 1 E)X 0 .
|
0 |
0 |
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
Решая однородную систему линейных уравнений, получим: x2 - свободная переменная. Положим x2 С , тогда x1 С .
Собственные векторы, относящиеся к собственному значению 1 1, имеют вид:
U |
|
С |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
C |
|
|
C 0 , |
базисом пространства решений данной системы |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
С |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
является вектор u1 ( 1;1) |
, Ф.С.Р.= |
|
, геометрическая кратность равна 1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. 2 |
3. Решим матричное уравнение (Ae 3E)X 0 . |
||||||||||
2 |
0 |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Решая однородную систему линейных уравнений, получим: x1 - главная переменная, а x2 - свободная переменная. Положим x2 С , тогда x1 0 .
Собственные векторы, относящиеся к собственному значению 2 3 , имеют вид:
U |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
C |
|
|
C 0 |
базисом пространства решений данной системы |
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
С |
|
1 |
|
|
|
|
|
T |
|
0 |
|
|
|
является вектор u2 |
|
|
|
|
|||
(0;1) , Ф.С.Р.= |
|
|
, геометрическая кратность равна 1. |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы u1 и u2 - линейно независимы, т.к. относятся к различным собственным |
|||||||
значениям (теорема 3.2) лк 6), т.к. dim 2 2 , то u1 и u2 образуют базис в |
2 , тогда по |
||||||
теореме 1 оператор |
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
A является диагонализируемым. Матрица оператора |
A в базисе из |
||||||
собственных векторов имеет вид: |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
A D |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
Сделаем проверку с помощью матрицы перехода. Обратимся к лекции 5, теорема 3.
Матрица перехода – матрица, составленная из координат новых базисных векторов ( u1 и u2 ),
выписанных по столбцам:
|
|
|
1 0 |
|
|
С 1 |
|
1 |
|
1 |
0 |
|
1 0 |
|||
С |
|
|
|
|
, detC |
1 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 1 |
1 |
1 |
1 1 |
||||||||||||
|
e u |
|
|
e u |
|
e u |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A С 1 |
A С |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u |
e u |
e e u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
3 |
1 1 |
|
0 |
3 |
|
|
|
8.2. Примеры заданий по теме линейные операторы |
|
|
|
||||||||
|
|
8.1. Линейные операторы в пространстве геометрических векторов |
|
|||||||||||
|
Пример 2. Пусть задан линейный оператор, действующий в каноническом базисе |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
{i , j, k} пространства геометрических векторов V3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
A - проекция на ось Ox. |
|
1. |
Найти матрицу оператора. |
|
|
|
(5; 1;2) . |
2. |
Найти образ вектора x |
3.Найти ядро и образ оператора.
4.Существует ли обратный оператор. Если да, то описать его действие.
5.Найти собственные значения и собственные векторы оператора.
Решение.
1.Найдем матрицу оператора, для этого подействуем оператором на базисные векторы:
|
z |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
; |
ˆ |
|
|
ˆ |
(0;0;0) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A(i ) (1;0;0) |
A( j ) (0;0;0) |
; A(k ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим матрицу оператора, выписав координаты |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
образов базисных векторов по столбцам: |
|
|||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
A |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
det A 0 , следовательно, |
ˆ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
A - вырожденный. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
y1 |
|
|
2. Пусть |
ˆ |
|
- |
образ |
вектора, |
пусть |
|
|
|
|
|||||||||
|
y A(x) |
|
X |
1 , |
Y y2 |
, тогда верно |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 0 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соотношение: Y A X |
|
0 |
0 0 |
|
|
1 |
0 |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 0 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.Пусть Ker
уравнение Ae X , где
ˆ |
(x1, x2 , x3 ), x |
3 |
ˆ |
|||
A {x |
|
: A(x) }. Решим матричное |
||||
x1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X x2 |
, |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 x |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ae X |
0 |
0 |
0 |
|
x2 |
|
|
|
0 |
, откуда x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
||||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
rang Ae 1, |
значит, |
система |
|
имеет бесконечно много решений. Пусть x2 С1 |
||||||||
x3 C2 - свободная переменная, тогда |
x1 - базисная, |
|
x1 0 . |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение X |
С1 |
|
С1 |
|
1 |
|
С2 |
|
0 |
, |
|
С2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
(0,0,1),С1,С2 |
ˆ |
ˆ |
Ker A {С1(0,1,0) С2 |
}, Ker A , |
dim( KerA) 2 |
|
3.2. Для нахождения образа воспользуемся алгоритмом подробно описанным в лекции |
|||
6. Найдем образы базисных |
векторов: |
ˆ |
ˆ |
v1 A(i ) (1;0;0) , |
v2 A( j ) (0;0;0) , |
ˆ
v3 A(k ) (0;0;0) . Исследуем систему
Координаты образов образуют матрицу Ae
ˆ ˆ ˆ на линейную независимость.
{A(i ), A( j ), A(k )}
, ранг которой равен 1. Базисом является вектор
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
v1 A(i ) (1;0;0) . |
rang A dim(Im A) 1. |
Im A { (1,0,0), }. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 1 3 dim . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dim( KerA) dim(Im A) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4. |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A необратим, так как det A 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
5.1. Составим характеристическое уравнение данного преобразования: |
|
Ae E |
|
0 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
A E |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
2 (1 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, алг кратность 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5.2. Корни уравнения |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
- собственные значения линейного |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, алг кратность 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5.3. Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению. |
||||||||||||||||||||||||||
|
5.3.1. 1 |
|
|
0 . Решим матричное уравнение (Ae 0 E)X 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
0 x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ae |
X |
0 |
0 |
|
0 |
|
x2 |
|
0 |
, как |
было показано выше, решением |
является |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор |
|
U |
1 |
С1 |
С1 |
|
1 |
|
С2 |
0 |
, |
C1 , C2 0 , базисом пространства решений |
|
|
данной |
||||||||||||
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
u2 (0;0;1)T |
|
1 , |
0 |
|
||
системы является вектор u1 (0;1;0) , |
Ф.С.Р.= |
, геометрическая |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кратность равна 2. Из геометрических соображений понятно, что собственными векторами, относящимися к собственному значению 1 0 , являются ненулевые векторы, которые при проектировании обращаются в нулевой вектор.
5.3.2. 1 1. Решим матричное уравнение (Ae 1 E)X 0 .
0 0 |
0 x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Ae 1 E) X |
0 |
1 |
0 |
|
x2 |
|
0 |
, |
x C |
- свободная переменная, |
x |
2 |
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
1 |
|
|
x3 0 |
- базисные переменные. Решением является вектор U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
С |
0 |
, C 0 , базисом |
||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
0 |
|
||
пространства решений данной системы является вектор u3 (1;0;0) , Ф.С.Р.= |
|
, |
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
геометрическая кратность равна 1. Из геометрических соображений понятно, что собственными векторами, относящимися к собственному значению 2 1 , являются ненулевые векторы, которые принадлежат оси Ox.
|
Пример 3. Пусть задан линейный оператор, действующий в каноническом базисе |
||||
|
ˆ |
|
|||
{i , j, k} |
|||||
пространства геометрических векторов V3 . A |
- поворот вокруг оси Oy на 90 |
по |
|||
часовой стрелке. |
|
|
|||
|
1. |
Найти матрицу оператора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти образ вектора x (2; 1; 2) . |
|
|
3.Найти ядро и образ оператора.
4.Существует ли обратный оператор. Если да, то описать его действие.
5.Найти собственные значения и собственные векторы оператора.
Решение.
1.Найдем матрицу оператора, для этого подействуем оператором на базисные векторы:
z
ˆ
B(i )
k ˆ
B(k )
O |
|
y |
i |
j |
|
|
|
|
x |
|
|
2. Пусть ˆ(x)
A
y
ˆ |
|
|
(0;0;1) ; |
ˆ |
|
ˆ |
|
A(i ) |
A( j ) (0;1;0) ; |
A(k ) (1;0;0) |
|||||
Составим матрицу оператора, выписав координаты |
|||||||
образов базисных векторов по столбцам: |
|||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
A |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
det A 0 , следовательно, A - невырожденный. |
||||
|
2 |
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
- образ вектора, пусть X |
1 |
, |
Y y2 |
, тогда верно |
|
2 |
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соотношение: |
Y A X |
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
1 . |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3.1. |
|
ˆ |
(x1, x2 , x3 ), x |
3 |
ˆ |
|||
|
Пусть Ker A {x |
|
: A(x) }. Решим матричное |
|||||
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
уравнение |
Ae |
X , где X x2 |
, |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
0
Ae X 01
rang Ae 3,
ˆ dim( KerA) 0
0 |
1 |
x |
|
|
|
0 |
x 0 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
x2 |
|
|
0 |
|
, откуда x2 0 |
||
0 |
0 |
|
x |
|
|
|
0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
система |
имеет |
единственное |
тривиальное решение, |
ˆ
Ker A 0 ,
3.2. Для нахождения образа воспользуемся алгоритмом, подробно описанным в лекции
ˆ |
ˆ |
6. Найдем образы базисных векторов: v1 A(i ) (0;0;1) , |
v2 A( j ) (0;1;0) , |
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
v3 A(k ) ( 1;0;0) |
. Исследуем систему {A(i ), A( j ), A(k )} на линейную независимость. |
||||||||
Координаты образов образуют матрицу |
Ae , ранг которой равен 3. Базисом являются векторы |
||||||||
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
v1 A(i ) |
(0;0;1) , v2 A( j ) (0;1;0) , v3 |
A(k ) ( 1;0;0) . |
|||||||
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
(0,1,0) (0,0, 1), , , } . |
||
rang A dim(Im A) |
3 . Im A { (0,0,1) |
||||||||
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
dim |
. |
|
|
dim( KerA) |
dim(Im A) 0 3 3 |
|
|
||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
так как det A 0 . Для нахождения обратного |
|||
4. По критерию оператор A обратим, |
|||||||||
ˆ |
1 |
, найдем матрицу A |
1 |
. |
|
|
|
|
|
оператора A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 1 |
|
|
|
0 |
|
Ae |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ae |
|
(i ) |
||||||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
ˆ 1 |
|
|
|
|
0 1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
ˆ |
1 |
|
0 |
||||
Ae |
( j ) |
|
|
|
|
|
|
|
j , |
Ae |
|
(k ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
k |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
i |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
1 |
|
|
|
|
Таким образом, A |
|
- поворот вокруг оси Oy на 90 против часовой стрелки. |
|||
|
5. |
Собственные векторы предлагается найти самостоятельно. Необходимо уметь |
||||
объяснять геометрический смысл. |
|
|||||
|
Пример 4. Пусть задан линейный оператор, действующий в каноническом базисе |
|||||
|
|
|
|
ˆ |
||
{i , j, k} |
пространства геометрических векторов V3 . |
|||||
A - отражение относительно плоскости |
||||||
Oxz. |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Найти матрицу оператора. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти образ вектора x (3;2; 4) . |
|
|||
|
3. |
Найти ядро и образ оператора. |
|
4.Существует ли обратный оператор. Если да, то описать его действие.
5.Найти собственные значения и собственные векторы оператора.
Решение.
1.Найдем матрицу оператора, для этого подействуем оператором на базисные векторы:
z
|
|
|
|
|
k |
|
|
ˆ |
|
|
|
С( j ) |
|
y |
|
|
O |
||
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2. Пусть ˆ
y A(x)
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
A(i ) (1;0;0) ; |
A( j ) (0; 1;0) ; |
A(k ) (0;0;1) |
||||||
Составим матрицу оператора, выписав координаты |
||||||||
образов базисных векторов по столбцам: |
|
|||||||
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ae |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
det Ae |
0 , следовательно, |
ˆ |
|
|
||||
A - невырожденный |
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
- образ вектора, |
пусть |
|
X |
2 |
, Y |
y2 |
, тогда верно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
y3 |
|
|
|
1 0 |
0 |
3 |
|
|
3 |
|
|||||||
соотношение: Y Ae |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
0 |
1 |
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
. |
|||||
|
|
|
0 0 |
1 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.1. |
Пусть |
ˆ |
{x |
|
(x1, x2 , x3 ), x |
3 |
ˆ |
||||||||
Ker A |
|
: A(x) }. Решим матричное |
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение |
Ae X |
, где X |
x2 |
, |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Ae X 00
rang Ae 3,
ˆ dim( KerA) 0
0 |
0 |
x |
|
|
|
0 |
x 0 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
x2 |
|
|
0 |
|
, откуда x2 0 |
||
0 |
1 |
|
x |
|
|
|
0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
система |
имеет |
единственное |
ˆ |
|||||||
тривиальное решение, Ker A 0 , |
3.2. Для нахождения образа воспользуемся алгоритмом, подробно описанным в лекции
ˆ |
ˆ |
6. Найдем образы базисных векторов: v1 A(i ) (1;0;0) , |
v2 A( j ) (0; 1;0) , |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
v3 A(k ) (0;0;1) . Исследуем систему {A(i ), A( j ), A(k )} на линейную независимость. |
||||||
Координаты образов образуют матрицу |
Ae , ранг которой равен 3. Базисом являются векторы |
|||||
ˆ |
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
v1 A(i ) (1;0;0) , v2 |
A( j ) (0; 1;0) , |
v3 A(k ) (0;0;1) . |
||||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
(0, 1,0) (0,0,1), , , } . |
||
rang A dim(Im A) 3 . Im A { (1,0,0) |
||||||
|
ˆ |
ˆ |
dim |
. |
|
|
dim( KerA) dim(Im |
A) 0 3 3 |
|
|
|
|
4. По критерию оператор |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
det A 0 . Для нахождения обратного |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A обратим, так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
1 |
, найдем матрицу |
A |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
оператора A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 0 |
1 |
1 |
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|||||||||
Ae |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ae |
|
(i ) |
|
|
|
i |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 0 |
0 |
|
0 |
|
||||||||||||||||||||
ˆ 1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
ˆ |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||||||||||
Ae |
( j ) |
|
|
|
|
|
|
|
j , |
Ae |
|
(k ) |
|
|
|
|
k |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ˆ 1 - отражение относительно плоскости Oxz.
A
5. Собственные векторы предлагается найти самостоятельно. Необходимо уметь
объяснять геометрический смысл.
Ключевые вопросы лекции для подготовки к экзамену
1.Диагонализируемый оператор.
2.Оператор простого типа.
3.Необходимое и достаточное условие диагонализируемости линейного оператора