2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 06

Определение 2. Линейный оператор

ˆ

A называется обратимым, если он взаимно од-

нозначно отображает линейное пространство

n на себя, т.е. y x , такой что

ˆ

A(x) y причем x - единственный.

Определение 3. Линейный оператор

ˆ

B называется обратным данному линейному

ˆ

x

ˆ ˆ

ˆ ˆ

оператору A , если для любого вектора

имеют место равенства: AB(x) BA(x) x .

ˆ

ˆ 1

.

Обозначается он следующим образом: B

A

Теорема 1. Критерии обратимости линейного оператора

Следующие утверждения равносильны:

1)

ˆ

A - обратимый оператор;

2)

ˆ

обратима (то есть существует A

1

)

Матрица оператора A

3)

ˆ

Линейный оператор A невырожден ( det A 0 )

4)

ˆ

Ker A 0

5)

ˆ

rang A dim n

6)

ˆ

Im A n (образ совпадает со всем линейным пространством)

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

3. Если A и

B обратимы, то оператор

AB также обратим. При этом

ˆ ˆ 1

ˆ

1 ˆ

1

AB

B

A

ˆ

0

ˆ

4. Если линейный оператор A обратим и некоторое число

, то оператор A

ˆ 1

1

ˆ 1

.

обратим и A

A

5. Если линейный оператор

ˆ

A обратим, то обратим обратный к нему линейный опера-

ˆ 1

ˆ 1 1

ˆ

тор A

. При этом: A

A

Утверждение 1.

ˆ

{e} пространства

Если линейный оператор A в некотором базисе

n имеет матрицу

ˆ

1

имеет в этом же базисе матрицу

Ae , то его обратный оператор A

A 1

e

Пример 1. Выяснить, будет ли, действующий в линейном пространстве 3 линейный

ˆ

оператор A обратимым. В случае обратимости найти обратный оператор.

а) x

ˆ

( 4x1 5x2 2x3; 3x1 3x2

2x3; 2x1 2x2 x3 )

(x1, x2 , x3 ) : A(x)

б) x

ˆ

(x1 x2 x3; x1 x2 3x3; x1

3x2

x3 )

(x1, x2 , x3 ) : A(x)

3

ˆ

1

1

A

Пример 2. Линейный оператор A задан матрицей

e

1

в некотором базисе

3

а) Пусть x

ˆ

Тогда по определению

- собственный вектор линейного оператора A .

ˆ

должно выполняться A(x) x для некоторого числа .

ˆ

(e1 2e2 )

e1 2 e2 ( ; 2 )

A(x) x

Пусть x (x1; x2 ) (1; 2)

ˆ

1 1

1

1

1

X

A(x) A

, т.е.

e

1 3 2

7

2

2 7

Очевидно, что не существует , которое удовлетворяет обоим условиям одновремен-

но. Значит, вектор x e1

ˆ

2e2 не является собственным вектором линейного оператора A .

б) Пусть x

ˆ

Тогда по определению

- собственный вектор линейного оператора A .

ˆ

должно выполняться A(x) x для некоторого числа .

ˆ

(e1 e2 ) e1 e2

( ; )

A(x) x

Пусть x (x1; x2 ) (1;1)

ˆ

1 1

1

2

2

X

A(x) A

e

, т.е.

1 3 1

2

2

Очевидно, что 2 , значит, вектор

x e1 e2

является собственным вектором ли-

ˆ

нейного оператора A , отвечающим собственному значению 2 .

6.2.2. Характеристический многочлен линейного оператора

ˆ

линейный оператор,

Ae

- матрица этого оператора в некотором базисе

Пусть A -

{e} {e1,e2 ,...,en}. Пусть - произвольное число,

E - единичная матрица n n .

Рассмотрим матрицу

a

a ...

a

0 ...

0

a

a

...

a

11

12

1n

11

12

1n

A E a21

a22 ...

a2n

0

...

0

a21

a22 ...

a2n

e

... ... ...

...

...

... ...

...

...

...

...

...

an2 ...

0 ...

an1

an2

...

an1

ann

0

ann

ˆ

тора A является его собственным значением.

ˆ

{e} {e1, e2} задан матрицей

Пример 3. Линейный оператор A в базисе

ти корни характеристического уравнения

Ae E

0 .

1

1

2

Ae

E

2

2 ( 2)( 1) 0

1

- собственные зна-

2

1

2

1 2 . Пусть

x (x1; x2 ) - собственный вектор. Тогда

ˆ

A(x) Ae X 1 X 2X , отсюда

1 2

1 0

x

0

x

1

1

1

C

2

0

0 2

0

,

x2

x2

1