2.1.4. Системы счисления

Информация в ЭВМ хранится и отрабатывается в определенном, закодированном виде. ЭВМ оперируется числами, представленными в некоторой системе счисления.

Системой счисления называется способ записи чисел с помощью заданно- го набора специальных знаков (цифр) или это способ представления любого числа посредством некоторого алфавита символов. Различают непозиционные системы счисления (например, римская), позиционные (десятичная, двоичная, восьмерич- ная, шестнадцатеричная и др.) и системы с иррациональным основанием (коды Фибоначчи). Количество различных цифр в позиционной системе называют основанием системы S .

Системы счисления принято делить на два вида:

• позиционные;

• непозиционные.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависи- мости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Пример: в числе 555 первая пятерка означает пять сотен, вторая – 5 десятков, а третья 5 единиц.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.

Пример: Римская система счисления. Число ХХI (двадцать один) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием – количеством различных знаков или символов, используемых для изображения чисел в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием g означает сокращенную запись выражения

, (4)

где a_i– цифры системы счисления;

n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно;

g – основание системы счисления.

Любая позиционная система счисления должна удовлетворять условию a<g.

Наибольшее распространение для представления чисел в ЭВМ получили двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

В двоичной системе счисления (2 с/с) используются только две цифры: 0 и 1; в восьмеричной (8 с/с) - восемь цифр: 0-7; в шест­надцатеричной (16 с/с) - десять цифр: 0-9 и шесть букв: А, В, С, D , Е, F. МикроЭВМ так же, как и другие ЭВМ, работают с инфор­мацией, представленной в 2 с/с.

Для связи оператора с микроЭВМ (для ввода и вывода данных, команд, адресов) используется 8 с/с (микроЭВМ типа DEC) или 16 с/с (микроЭВМ типа INTEL), так как в 2 с/с запись информа­ции получается длинной и неудобной для оператора.

Перевод чисел из 10 с/с в другую позиционную систему с основанием S осуществляется по разным правилам для целой и дробной частей числа.

Перевод целых чисел. Для перевода целого числа из 10 с/с в систему с основанием (2 с/с, 8 с/с, 16 с/с) необходимо последовательно разделить это число и получаемые частные на основание S до тех пор, пока час­тное не станет меньше S. Запись числа производится, начиная с последнего частного, с присоединением остатков в последовательно­сти, обратной их получению.

Перевод дробных чисел. Для перевода дробной части из 10 с/с в систему S (2 с/с, 8 с/с, 16 с/с) необходимо умножить эту дробь и дробные части (без учета целых) получающихся произведений на основание S. Запись дроби производится с нуля с добавлением после запятой целых частей (сверху - вниз) получающихся произведений. Если при последовательном умножении после запятой не получаются нули, то перевод осуществляется с заданной точностью.

Пример. Перевести 0,625₁₀ в 2 с/с.

Запись: 0,625₁₀ = 0,101₂ = 0,5₈ = 0,A₁₆.

В последней записи число 10 заменено символом А в соответствии со способом кодирования в 16 с/с (см. таблицу 1). Перевод чисел из 10 с/с в 2 с/с можно производить, используя формулу (2.1), а также через 8 с/с или 16 с/с.

Очевидно, что основания 8 с/с и 16 с/с есть степени основания 2 с/с: 2³ = 8, а 2⁴=16. Следовательно, для записи каждой цифры восьмеричного числа необходимо три двоичных разряда (триада), а для представления каждой цифры шестнадцатеричного числа – четыре разряда (тетрада). Представление десятичных, восьмеричных и шестнадцатеричных целых чисел приведено в таблице1.

Перевод двоичных чисел в 8 с/с и 16 с/с. производится путем разбиения двоичного числа на триады и тетрады соответственно влево и вправо от запятой с последующей заменой триад и тетрад на их символьные эквиваленты в соответст­вии с таблицей1. Недостающие позиции в триадах и тетрадах запол­няются нулями.

Таблица 1- Представление чисел

10 c/c	2 c/c	8 c/c	16 c/c
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Перевод чисел из 8 с/с и 16 с/с в двоичную производится заменой каждой цифры соответствующего числа двоичной триадой и двоичной тетрадой согласно таблице 1. Для дробных чисел можно написать аналогичную таблицу.

Пример. Перевести 10001,0­­1₂­ в 8 с/c и 16 с/c.

Запись: 010 001,010₂ = 21,2₈ ; 0001 0001,0100₂ = 11,4₁₆ .