19.Матрицы. Основные понятия . Действия над матрицами.

Матрица — математический объект, представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими. Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

* сложение матриц, имеющих один и тот же размер;

{\displaystyle \ c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}* умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую  n строк);

* в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы);

* умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр).

20.Определители: основные понятия. Свойства определителей. Вычисление определителей.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель квадратной матрицы A размеров n x n, заданной над коммутативным кольцом R, является элементом кольца R, вычисляемым двумя способами:

Через аксиоматическое построение (определение на основе свойств).

Понятие определителя может быть введено на основе его свойств. А именно, определителем вещественной матрицы называется функция det:R^{n x n} =>R,где

det(A) – кососимметрическая функция строк (столбцов) матрицы А.

det(A) –косолинейная функция строк (столбцов) матрицы А.

det(E) = 1, где E – единичная n x n-матрица

Через перестановки. Для матрицы n x n вычисляется

Где a¹, a²,..,a_n – перестановка чисел от 1 до n

N(a₁, a₂,...,a_n) – число инверсий в перестановке, суммирование проводится по всем перестановкам порядка n. Таким образом, в определитель входит n! слагаемых, которые также называют «членами определителя».

Найти определитель матрицы A

A =	5 7 -4 1
det(A) =		5 7 -4 1		= 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33
∆ =			a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33		=

=  a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ - a₁₃·a₂₂·a₃₁ - a₁₁·a₂₃·a₃₂ - a₁₂·a₂₁·a₃₃

21. Невырожденные матрицы: основные понятия. Ранг матрицы.

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной. Для квадратной матрицы M над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

M обратима, то есть существует обратная матрица;

строки (столбцы) матрицы M линейно независимы;

ранг матрицы равен её размерности.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, определитель которых отличен от нуля. Ранг матрицы — Размерность образа линейного оператора, которому соответствует матрица.

Рангом матрицы   называется ранг её системы строк или столбцов.

Обозначается 

Н а практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

Задание. Найти ранг матрицы. Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу   к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей - две четвертых:

К о второй строке прибавим пять первых, к третьей - три третьих: Меняем местами первую и вторую строчки:

Далее четвертую и первую строки: