Б) , если - нечетная функция. Эти утверждения наглядно иллюстрируются геометрически (рис. 3).

Свойство 7. (Интегрирование неравенств).

Если на отрезке [a, b] функции   и   удовлетворяют условию  , то  (11).

Доказательство. На отрезке [a, b] разность  , тогда по свойству 6 :   Применим затем свойство 4:   Отсюда следует неравенство (11).

Если  >0 и  >0 на [a, b], то свойство 7 иллюстрируется геометрически (рис. 4). Так как  , то площадь криволинейной трапеции   не больше площади  .

Свойство 8. (Оценка определенного интеграла). Если на отрезке [a, b] функция удовлетворяет условию  , то определенный интеграл удовлетворяет неравенству  (12)

Доказательство.

Предварительно вычислим с помощью интегральной суммы

По условию  Проинтегрируем данное неравенство, используя свойство 7:  . Затем, используя свойство 3 и только что полученный результат, имеем Подставляя их в предыдущее неравенство, получим нужное неравенство (12). Если  , то свойство имеет простую геометрическую ллюстрацию (рис. 5. ): площадь криволинейной трапеции AABb заключена между площадями двух прямоугольников   

Свойство 9. (Теорема о среднем).

Определенный интеграл от функции  , непрерывной на отрезке [a, b], равен значению подынтегральной функции в некоторой «средней» точке с промежутка интегрирования, умноженному на длину этого промежутка:  (13).

Доказательство.

По свойству функций, непрерывных на отрезке   достигает своего наименьшего    и наибольшего  значений и принимает все промежуточные значения между  и :  . В силу формулы (12), предположив, что a<b , имеем

Обозначим   тогда  По свойству непрерывных функций найдется значение   такое, что  ,

С ледовательно, из равенства    (14) получим нужное соотношение (13).

Замечание. В выражении (14)   называют средним (средним интегральным) значением функции   на отрезке 

Геометрический смысл среднего значения   показан на рис. 6. Значение  должно быть таким, чтобы площадь прямоугольника   равнялась площади криволинейной трапеции 

Заметим, что теорема говорит о существовании точки  ,    но не дает способа ее нахождения.

Свойство 10. Абсолютное значение интеграла не превосходит интеграла от абсолютного значения функции: 

Доказательство.

Это неравенство получится, если для интегральной суммы (3) записать, что абсолютное значение суммы не превосходит суммы абсолютных значений , а затем перейти к пределу.

17.Несобственный интеграл.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

-Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком 

{\displaystyle [a,+\infty )}-Функция {\displaystyle f(x)} является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал {\displaystyle [a,b]} конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы 1го рода

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода: Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

18. Применение интегралов при вычислении площади фигур. Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x=a, x=b, ось абсцисс и параметрически заданная кривая  , причем функции   и  непрерывны на интервале  ,   монотонно возрастает на нем и  .

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле  . Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции   подстановкой  :

Если функция   является монотонно убывающей на интервале  , то формула примет вид  .

Если функция   не является основной элементарной, то для выяснения ее возрастания или убывания может потребоваться теория из раздела возрастание и убывание функции на интервале.

Параметрическое представление эллипса с центром в начале координат и полуосямиa и b имеет вид  . Если действовать так же, как и в разобранном примере, то получим формулу для вычисления площади эллипса  .

Окружность с центром в начале координат радиуса R через параметр t задается системой уравнений  . Если воспользоваться полученной формулой площади эллипса, то сразу можно записать формулу для нахождения площади круга радиуса R:  .

Аналогично можно показать, что площадь астроиды   находится как  , а площадь фигуры, ограниченной линией  , вычисляется по формуле  .