Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема: (Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция   определена на интервале   и имеет непрерывную, не равную нулю в точке   вторую производную. Тогда, если   всюду на интервале  , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если  , то функция имеет выпуклость.

Определение: Точкой перегиба графика функции   называется точка  , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема: (О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция   имеет перегиб в точке  , то   или не существует.

Теорема: (О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная   непрерывна в окрестности точки  ;

2. вторая производная   или не существует в точке  ;

3.  при переходе через точку   меняет свой знак, тогда в точке   функция   имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

1 3. Первообразная функции:

М етод интегрирования, при котором интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. 

1 4. Алгебраические многочлены и рациональные дроби

1 5. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

16. Определенный интеграл

О пределенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа – является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

1.Вычисление площади криволинейной трапеции

Пусть на промежутке [a, b] задана функция f(x) 0. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y = f(x), прямыми x = a, x = b и осью ОХ. (рис. 1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.

1.  Разобьем промежуток [a, b] произвольными точками   на n частей. Положим  , то есть  есть длина i-го частичного отрезка, а наибольшую из этих длин обозначим  , ( = max  .

2.  На каждом отрезке [ возьмем по произвольной точке   и вычислим   Построим прямоугольник с основанием   и высотой f(  Его площадь равна   Проделаем это для каждого i= 1, 2, …, n.

3.  Площадь всей заштрихованной ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, равна сумме   Площадь   криволинейной трапеции будет приближенно равна площади ступенчатой фигуры: 

Чем мельче отрезки деления, тем точнее полученная фигура «отображает» криволинейную трапецию.

4. За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается   Таким образом,  (1)

2) Вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Пусть известен закон изменения мгновенной скорости  . Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от   до  . Движение в общем случае предполагается неравномерным. Поступим следующим образом.

1. Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов  , где  . На произвольном участке   будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью  Тогда за время  пройденный путь приближенно равен  Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).

2. Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме  . Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.

3. Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений   и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим  , тогда (2)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА.

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для для верхнего и нижнего пределов интегрирования:   . (17)

Доказательство. Пусть   есть некоторая первообразная для функции   на отрезке [a, b].

С другой стороны, в установлено, что одной из первообразных для   на отрезке [a, b] является функция  так как для нее справедливо равенство (16). Известно, что две любые первообразные от данной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое С:  ,

   (18)

При соответствующем выборе С равенство (18) справедливо при всех значениях  . Подставим в него значение  : . Следовательно,   для любого значения 

Полагая в последнем равенстве  , получим  .

Заменим переменную   на более привычную . Разность   принято условно записывать в виде .

Формула   выражающая определенный интеграл от непрерывной функции через неопределенный, называется формулой Ньютона –Лейбница.

Формула (17) дает простой и удобный метод вычисления определенного интеграла от непрерывной функции, если известна первообразная подынтегральной функции. Только с появлением этой формулы определенный интеграл смог занять в математике то важное место, какое он занимает в настоящее время.

ОСНОВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Пусть некоторая функция   задана при  . Разобьем этот интервал на   произвольных частей точками    и составим сумму, которая называется интегральной суммой для функции   на отрезке [ ]:  (3)

где  , а каждая точка    произвольно выбрана между  и .

Определение 2. Функция  , для которой на отрезке [a, b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Естественно возникает вопрос: при каких условиях функция  , определенная на [a, b], интегрируема на этом отрезке? Не приводя доказательств, рассмотрим эти условия.

Теорема 1. Если функция  непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Сформулируем и более общую теорему об интегрируемости.

Теорема 2. Если функция  ограничена на [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Будем предполагать, что все рассматриваемые ниже функции интегрируемы на заданных промежутках.

Свойство 1.   (6)

Для доказательства составим интегральные суммы (3) в обоих случаях с теми же точками деления. Они будут отличаться только знаком за счет знаков  : слева  >0, справа  <0. Значит, в пределе получится нужное равенство.

Свойство 2.   (7)

В этом случае отрезок интегрирования равен нулю и интегральная сумма – тоже.

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если  , то

 (8)

Доказательство:

(см.(4)) =  = =

Свойство 4. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:  (9)

Свойство 5. Если отрезок [a, b] разбит точкой с на две части [a, c] и [c, b], то  (10)

Д оказательство. Составим интегральную сумму для   на [a, b]. Так как предел этих сумм не зависит от способа разбиения [a, b] на части, то рассмотрим только те разбиения, в которых точка с входит в качестве точки деления. Тогда , где   - суммы, соответствующие отрезкам [a, c] и [c, b]. Переходя в последнем равенстве к пределу при  , получим соотношение (10).

Замечание. Свойство сохраняется при любом взаимном расположении точек a, b, c. На рисунке 2. дана геометрическая иллюстрация свойства 5 для случая, когда   и a < c < b: площадь трапеции aABb равна сумме площадей трапеций aACc и cCBb.

Свойство 6. Если всюду на отрезке [a, b] функция неотрицательна   то   а если   то 

Д оказательство. В самом деле, любая интегральная сумма  для   на [a, b] неотрицательна, так как   Переходя к пределу в неравенстве  , получаем 

Для случая  на [a, b] доказательство аналогичное.

Геометрический смысл утверждения очевиден.

Следствие из свойств 5 и 6.

Интегрирование в симметричных пределах можно упростить, если воспользоваться формулами:

a )  , если  - четная функция,