10. Теорема лопиталя.
11. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функций. Необходимое условие экстремума. Первое и второе достаточные условия экстремума.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция
называется возрастающей
(неубывающей)
на интервале
если для любых
таких, что
значения функции
и
удовлетворяют неравенству
(
).
Функция
называется убывающей
(невозрастающей)
на интервале
если для любых
таких, что
значения функции
и
удовлетворяют неравенству
(
).
Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.
Из определения
возрастающей функции следует, что если
возрастает на
,
то на этом интервале приращение аргумента
и соответствующее ему приращение
функции
будут иметь одинаковый знак.
Действительно,
если
,
то
⇒
,
⇒
.
Если
,
то
⇒
,
⇒
.
Аналогично показывается, что если убывает на , то на этом интервале приращение аргумента и соответствующее ему приращение функции будут иметь разный знак.
Справедлива следующая теорема. Иначе говоря, функция называется возрастающей на интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.
Иначе говоря, функция называется убывающей на интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.
ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда
если функция возрастает (убывает) на , то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположительна), т.е.
,
(
,
);
2) если
производная
на интервале
положительна (отрицательна), т.е.
,
(
,
),
то функция на возрастает (убывает).
Доказательство: 1) (Необходимость.) Пусть возрастает на . Требуется доказать, что , .
Так как возрастает на , то знак и соответствующего ему приращения совпадают.
⇒
,
,
(при условии, что
).
Но тогда
.
Аналогично доказывается, что если убывает на , то , .
2) (Достаточность.)
Пусть
,
.
Требуется доказать, что
возрастает на
.Пусть
,
.
Рассмотрим разность
.
По теореме Лагранжа, существует точка
,
такая, что
.
⇒
.
Так как
и
получаем:
,
.
Следовательно, возрастает на интервале .
Аналогично доказывается, что если , , то убывает на .
1
2.
Выпуклость функции, точки перегиба
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).