Логарифмическое дифференцирование. Для функций вида для упрощения нахождения производной рациональнее использовать логарифмическое дифференцирование.

Вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная.

Пусть задана некоторая функция  . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что   является функцией от , то есть найдем производную сложной функции:

А тогда, выражая искомую производную  , в результате имеем:

Если независимая переменная   и функция   связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно  , то функция  называется неявной функцией переменной  .

Всякую явно заданную функцию   можно записать в неявном виде  . Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение   не разрешимо относительно  , оказывается возможным найти производную от   по  . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию y как функцию от x, а затем из полученного уравнения найти производную  .

Предположим, что функциональная зависимость   от   не задана непосредственно  , а через промежуточную величину — t. Тогда формулы задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция   задана в параметрической форме, то есть в виде: где функции   и   определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра  . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что  , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной   выполним следующие преобразования:

8.Дифференциал функции, его аналитический и геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Д ифференциал функции y=f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так: или или Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y=f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x;y), при изменении x (аргумента) на величину  .

Приращение   функции   представимо в виде: где функция   является б.м. функцией при стремлении аргумента   к нулю. Так как , то . В силу того, что второе слагаемое   является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

9.Дифференциальные теоремы о среднем (теоремы Ролля, Лагранжа).

Функция f принимает в точке x0 наибольшее значение на множестве Х, если для всех x из множества Х выполняется неравенство f(x0) і f(x). Аналогично определяется точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Т. Ферма. Если f определена в некоторой окрестности x0 и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение, и ее производная в x0 конечна или равна бесконечности определенного знака, тогда fў(x0)=0.

Будем считать, что в точке x0 функция f принимает наибольшее значение. Из выполнения неравенства f(x0) і f(x) в окрестностях точки следует:

Поскольку производная в точке x0 существует, то в этих неравенствах можно перейти к пределу. А при переходе к пределу, по определению производной, в левой части неравенств появится fў(x0), следовательно неравенства превратятся в: fў(x0) і 0 и fў(x0) Ј 0

Одновременно эти неравенства могут выполнятся лишь при равенстве производной нулю.

Другими словами можно сказать, что эта теорема утверждает, что в точке, где функция принимает наибольшее или наименьшее значение, ее производная может либо быть равна нулю, либо ее не

Теорема Ролля. Если функция f: 1)непрерывна на отрезке [a, b]; 2)Имеет в каждой точке интервала (a,b) конечную или определенного знака бесконечную производную; 3)имеет одинаковые значения в концах отрезка, тогда существует хотя бы одна точка x0 О (a,b), в которой производная функции равна 0.

Если рассматриваемая функция имеет одинаковые значения в концах отрезка, то она либо является константой; либо существует точка, в которой она принимает наибольшее или наименьшее значение. А по теореме Ферма, если выполняется условие 2), то производная в этой точке равна 0. Геометрически теорема Ролля означает, что при выполнении условий теоремы найдется хотя бы одна точка, в которой график функции параллелен оси x.

Теорема Лагранжа. Если функция f : 1)непрерывна на отрезке [a b]; 2) Имеет в каждой точке интервала (a,b) конечную или определенного знака бесконечную производную, тогда существует точка x0 О (a,b) , для которой верно равенство : f(b) – f(a) = fў(x0) ( b – a )

Справедливость теоремы Лагранжа следует из того факта, что функция:

удовлетворяет теореме Ролля, а значит в некоторой точке ее производная равна 0.

Геометрически Теорема Лагранжа утверждает, что у кривой найдется касательная, параллельная хорде, стягивающей эту кривую.

Теорема Коши о средних значениях. Если функции f и g: 1)непрерывны на отрезке [a,b]; 2)Дифференцируемы на интервале (a,b); 3)производная g нигде не обращается в нуль, тогда существует точка x0, в которой:

Для доказательства этой теоремы необходимо ввести функцию:

Эта функция имеет в концах отрезка одинаковые значения и удовлетворяет условиям Т. Ролля. А значит найдется точка x0 , в которой ее производная равна нулю :