5.Непрерывность функции: непрерывность функции в точке, в интервале и на отрезке, точки разрыва функции и их классификация, основные теоремы о непрерывных функциях, непрерывность элементарных функций.

Функция   называется непрерывной в точке  , если:

1. функция   определена в точке   и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции   в точке  ;

3. это предел равен значению функции в точке  , т.е. 

4. При нахождении предела функции  , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция   называется непрерывной справа в точке  , если  .

Функция   называется непрерывной слева в точке  , если  .

Функция   называется непрерывной в интервале  , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция   называется непрерывной на отрезке  , если она является непрерывной в интервале  , непрерывной справа в точке  , то есть   и непрерывной слева в точке  , то есть  .Свойства функций непрерывных на отрезке:

1.Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

2.Непрерывная на отрезке   функция является ограниченной на этом отрезке.

3.Теорема Больцано-Коши. Если функция   является непрерывной на отрезке   и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть ,  , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между   и   .

4.Если функция  , которая непрерывна на некотором отрезке  , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка   такая, что 

Точка  , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1.функция   определена в точке и ее окрестности;

2.существует конечный предел функции   в точке  ;

3.это предел равен значению функции в точке  , т.е. 

называется точкой разрыва функции.

Точка разрыва первого рода. Если в точке   существуют конечные пределы   и  , такие, что  , то точка   называется точкой разрыва первого рода.

Точка разрыва второго рода. Если хотя б один из пределов   или   не существует или равен бесконечности, то точка   называется точкой разрыва второго рода.

Точка устранимого разрыва. Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции   в точке  :  или функция   не определена в точке  , то точка   называется точкой устранимого разрыва.

Теорема1. Пусть заданы две функции   и   , непрерывные на некотором множестве  . Сумма, произведение и частное (при условии, что  ) является также непрерывной функцией на рассматриваемом множестве.

Пусть функция   задана на множестве  , а   - множество значений этой функции. Пусть на множестве   задана функция  , которая называется композицией функций (или сложной функцией)   .

Теорема2. Пусть функция   непрерывна в точке  , а функция  непрерывна в точке  . Тогда композиция этих функций  непрерывна в точке  .

Теорема3. Если функция   является непрерывной и строго монотонной на отрезке   , которые лежит на оси абсцисс, то и обратная функция  также непрерывна и монотонна на некотором отрезке   оси ординат.