61. Повторные испытания. Формула Бернулли. Теоремы Лапласа. Формула Пуассона.
В теории вероятностей и ее приложениях большое значение имеет простая схема случайного эксперимента, которую называют схемой Бернулли или схемой независимых испытаний. Испытания или опыты называют независимыми, если вероятность каждого исхода не зависит от того, какие исходы имели другие опыты, т.е. вероятность каждого исхода остается постоянной от опыта к опыту.
Пусть
производится
независимых
опытов, в каждом из которых может
появиться или не появиться событие 
.
Причем вероятность появления события
в каждом опыте равна
,
а вероятность непоявления равна 
.
Требуется найти вероятность 
того,
что в
независимых
опытах событие
произойдет ровно 
раз. В качестве примеров описанной схемы
можно назвать бросание монеты (
-
выпадение герба), стрельбу по цели в
неизменных условиях (
-
попадание в цель), изготовление деталей
при заданном технологическом режиме
(
--
изготовление бракованной детали) и т.д.
Найдем
вероятность
.
Все возможные случаи появления
события
раз
в
опытах
можно перебрать следующим образом.
Возьмем
букв
и 
букв 
и
будем их между собой переставлять.
Каждая перестановка соответствует
определенной очередности появления
или непоявления события
.
Например, 
соответствует
ситуации, в которой событие появилось
в первом опыте, во втором и третьем не
появилось, появилось в четвертом и т.д.
Всего вариантов будет столько, сколькими
способами можно из
мест
выбрать
различных
(порядок не важен!) и поставить на них
букву
,
т.е. 
способов.
Вероятность любого из этих способов (в
силу независимости опытов, а значит, и
событий) равна по теореме умножения
вероятностей 
.
Появление хотя бы одного из
этих
несовместных
исходов приводит к появлению интересующего
нас события, поэтому
или
Это
и есть формула
Бернулли.
Теоремы Муавра-Лапласа
Пусть в каждом
из
независимых
испытаний событие A может
произойти с вероятностью
, 
.
Обозначим как и раньше, через 
вероятность
ровно
появлений
события А в
испытаниях.
кроме того, пусть 
–
вероятность того, что число появлений
события А находится
между 
и 
.
Локальная теорема Лапласа.
Если n –
велико, а р –
отлично от 0 и 1, то
где 
-
функция Гаусса.
Интегральная теорема Лапласа.
Если n –
велико, а р –
отлично от 0 и 1, то P(n; k1, k2)
где 
-
функция Лапласа.
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:
а) 
б) при больших
верно 
.
Теоремы Лапласа
дают удовлетворительное приближение
при 
.
Причем чем ближе значения 
к
0,5, тем точнее данные формулы. При
маленьких или больших значениях
вероятности (близких к 0 или 1) формула
дает большую погрешность (по сравнению
с исходной формулой Бернулли).
Формула Пуассона
При большом числе
испытаний n и
малой вероятности р формулой
Бернулли пользоваться неудобно,
например, 
вычислить
трудно. В этом случае для вычисления
вероятности того, что в n испытаниях
(n –
велико) событие произойдет k раз,
используют формулу
Пуассона:
–
среднее число появлений события
в n испытаниях.
Эта формула дает
удовлетворительное приближение
для 
и 
.
При больших 
рекомендуется
применять формулы
Лапласа.
События, для которых применима формула
Пуассона, называют редкими,
так как вероятность их осуществления
очень мала.