53.Решение линейных уравнений первого порядка, метод вариации постоянной, метод Бернулли.
,
где p(x)
и g(x)
– непрерывные функции (постоянные, в
частности) – линейные ур-ия 1-го порядка.
Существует три
способа решения этого уравнения:
* метод интегрирующего множителя;
* метод введения двух функций (Бернулли);
* метод вариации постоянной (Лагранжа).
Использование интегрирующего множителя
Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:
то
интегрирующий множитель определяется
формулой:
.
Умножение
левой части уравнения на интегрирующий
множитель u(x) преобразует
ее в производную произведения 
Общее
решение дифференциального уравнения
выражается в виде:
где C −
произвольная постоянная.
Метод вариации постоянной
Данный
метод аналогичен предыдущему подходу.
Сначала необходимо найти общее
решение однородного
уравнения:
.
Общее
решение однородного уравнения содержит
постоянную интегрирования C. Далее
мы заменяем константу C на
некоторую (пока еще неизвестную)
функцию C(x). Подставляя
это решение в неоднородное дифференциальное
уравнение, можно определить
функцию C(x).
Найдём
сначала общее решение ур-ия
,
т.е.
Разделяя
переменные, имеем:
,
Т.е.
.
Общее решение заданного уравнения ищем
в виде
.
Подставляя y
и
в данное уравнения, получим:
Отсюда
;
;
=> общее решение ур-ия
Уравнение
Бернулли является
одним из наиболее известных нелинейных
дифференциальных уравнений первого
порядка.
Оно записывается в виде
,
где 
и 
−
непрерывные функции.
Если m=0, то
уравнение Бернулли становится линейным
дифференциальным уравнением.
В случае когда m=1, уравнение
преобразуется в уравнение
с разделяющимися переменными.
В
общем случае, когда m≠0,1, уравнение
Бернулли сводится к линейному
дифференциальному уравнению с помощью
подстановки
.
Новое дифференциальное уравнение для функции z(x) имеет вид
и может быть решено способами, описанными выше.
54. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Рассмотрим
линейное дифференциальное уравнение
вида
,
где 
−
постоянные коэффициенты.
Для
каждого такого дифференциального
уравнения можно записать так
называемое характеристическое
уравнение:
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:
Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен:
. Тогда
корни характеристического
уравнения 
и 
действительны
и различны. В этом случае общее решение
описывается функцией
,
где C1 и C2 −
произвольные действительные числа.Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D=0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D<0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни
. Общее
решение записывается в виде
Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:
|
