51.Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка – ур-ие F(x,y,y′) (1), связывающее между собой независим. переменную, неизвестную функцию и её производную
Если уравнение можно записать в виде y′=f(x,y), то оно разрешимо относительно производной. Записывают так: dy = f(x,y) dx или P(x,y) dx+Q(x,y) dy=0 (дифференциальная форма)
Решение (или интеграл) диф. Ур-ия 1-го порядка – любая функция y=φ(x), которая при подстановке в ур-ие обращает его в тождество. График – интегральная кривая.
Процесс – интегрирование.
Задача отыскания решения дифференциального уравнение 1-го порядка, удовл. Заданному начальному условия y(x0) , называется задачей Коши.
=> Общее решение уравнения – функция y=φ(x,C) (2), где С - произвольная постоянная, что:
1) При любом значении С она является решением этого уравнения;
2) для любого допустимого начального условия y(xо)=yо найдётся такое найдётся такое значение постоянной С=Со, что φ(xо,Cо)=yо
Иногда общее решение ур-ия необходимо записывать в неявном виде: φ(x,y,C)=0. Тогда это соотношение – общий интеграл ур-ия
Однородным
дифференциальным уравнением первого
порядка,
называется уравнение, имеющее вид
Подстановка
;
;
,
где 
преобразует
это уравнение к уравнению с разделяющимися
переменными.
,
,
.
Однородные:
Функция F(x,y) называется
однородной степени k,
если F(ƛx,ƛy)=ƛF(x,y),
где 
-
некоторая константа. Например, функция
является однородной функцией степени
два, поскольку
.
А
функция
является
однородной функцией нулевой степени
однородности, так как
.
Поэтому
общий вид однородного дифференциального
уравнения часто записывают как
,
где 
-
однородная функция нулевой степени
однородности.
52.Уравнения в полных дифференциалах.
Определение уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальное
уравнение вида
называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение
=
.
Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой
,
где C − произвольная постоянная.
Необходимое и достаточное условие
Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D.Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:
∂Q∂x=∂P∂y.
Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах
Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:
Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y):
Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:
Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:
Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y):
Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и, следовательно, функцию u(x,y):
Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде: