46. Знакопеременные числовые ряды Условная сходимость. Признак Лейбница.
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд
называется абсолютно сходящимся, если
ряд 
также
сходится.
Если
ряд 
сходится
абсолютно, то он является сходящимся
(в обычном смысле). Обратное утверждение
неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что
1. an+1 < an для всех n;
2. 
Тогда
знакочередующиеся ряды 
и 
сходятся.
47.Степенные ряды. Радиус сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Выражение вида:
1.
Где а0,а1,а2,…,аn,… - постоянные числа (действительные или комплексные), а х – переменная величина (действит. или комплекс.) называется степенным рядом. Числа а0,а1,а2,…,аn,… - коэффициенты степенного ряда.
Часто рассматривается
также ряд, расположенный по степеням
(x−x0),
то есть ряд более общего вида: 2.
(где
− действительное число), частным случаем
которого при
= 0 являются обычные степенные ряды. (1)
Область сходимости – множество всех тех значений переменной, при которых данный степенной ряд сходится. При х=0 всякий степенной ряд вида (1 и 2) сходится, поэтому область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в каждой точке x, для которой |x|<| |
Следствие. Если
степенной ряд
расходится
при некотором значении x
=
,
то он расходится и при всех значениях
x,
для которых |x|>|
|
Интервалом
сходимости
ряда (1 и 2) называется такой интервал
(-R,R)
(так же, (
-R,
+R)),
что в каждой точке ряд абсолютно сходится,
а в каждой точке вне отрезка [-R,R]
ряд расходится. На границах сходимости
(в точках x=
R
и так же х=х0
)
ряд может как сходится, так и расходится.
Число R
– радиус
сходимости
Всюду сходящийся
ряд – если
R=0,
то область сходимости состоит из одной
точки 0 или
=> область сходимости – вся числовая
прямая)
Круг сходимости
– открытый круг |x|<R(|x-a|<R),
что в каждой его точке ряд абсолютно
сход., а в каждой точке вне замкнутого
круга |x|
R(|x-a|
R)
ряд расходится.
Радиус и интервал сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
48.Разложение функции в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
Если
функция
в
некотором интервале раскладывается в
степенной ряд по степеням 
,
то это разложение единственно и задается
формулой:
- формула Тейлора.
Частный
случай формулы Тейлора, когда 
:
- формула
Маклорена
49. Периодические функции. Периодические процессы. Гармонический анализ. Функция y=F(x) с областью определения D называется периодической, если существует хотя бы одно число T>0, такое, при котором выполняются следующие два условия:
1)
точки x+T, x-T принадлежат
области определения D для
любого 
;
2) для каждого x из D имеет место соотношение f(x)=f(x+T)=F(x-T)
Периодической
функцией является такая функция, значения
которой повторяются через некоторый
промежуток. Например, функция y=sin
x -
периодическая с периодом 
.
50. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Пусть
функция f(x) периодична
с периодом T,
то есть для любого x выполнено
соотношение f(x+T)
= f(x) .Тригонометрическим
рядом Фурье функции f(x) называется
функциональный ряд вида:
.
Числа 
называются коэффициентами
Фурье функции f(x).
Все входящие в ряд Фурье функции также
периодичны с периодом T.
Чётные функции.
Пусть f(x) –чётная, тогда bn=0 (n=1,2,…) => чётная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам:
f(x) =
,
где
=
,
,
(n=1,2,3…)
Аналогично нечётная функция по синусам:
f(x) =
,
где
,
(n=1,2,3…)