42.Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.
Частной производной
от функции 
по
независимой переменной 
называется
производная
,
вычисленная при постоянном 
.
Частной производной
по y называется
производная 
,
вычисленная при постоянном
.
Для частных производных справедливы
обычные правила и формулы дифференцирования.
Полным
приращением функции
в
точке 
называется
разность 
,
где 
и 
произвольные
приращения аргументов.
Функция
называется дифференцируемой в
точке 
,
если в этой точке полное приращение
можно представить в виде 
,
где 
.
Полным
дифференциалом функции
называется
главная часть полного приращения 
,
линейная относительно приращений
аргументов
и
,
то есть 
.
Полный дифференциал
функции
вычисляется
по формуле 
.
Для функции трех
переменных 
.
При достаточно
малом
для
дифференцируемой функции
справедливы
приближенные равенства 
; 
,
которые применяются для приближенного
вычисления значения функции
43.Необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных
Пусть функция u = f(x1, x2, … , xn) имеет непрерывные частные производные до 2–го порядка включительно в некоторой окрестности еестационарной точки M0(x10, x20, … , xn0) .
Пусть M(x10 + dx1, x20 + dx2, … , xn0 + dxn) — некоторая точка из этой окрестности. Тогда
|
Δu = f(x10 + dx1,x20 + dx2, … ,xn0 + dxn) − f(x10,x20, … ,xn0) |
— приращение функции, которое она получает при смещении из точки M0 в точку M .
По формуле Тейлора имеем
Δz = dz(M0) + 1 d2z(M0) + o(ρ2) 2! |
где ρ — расстояние между точками M0 и M .
Так как M0 — стационарная точка функции u = f(x1, … ,xn) , то dz(M0) = 0 .
Допустим, что d2z(M0) ≠ 0 для всех точек M из некоторой окрестности Oδ(M0), достаточно малой, чтобы в ней выполнялось неравенство |d2z(M0)| > |o(ρ2)| . Тогда знаки Δz и d2z(M0) одинаковы .
Если d2z(M0)>0 для всех точек M из окрестности Oδ(M0) то и Δz>0. В этом случае функция u = f(x1, … , xn) имеет минимум в точке M0 .
Если d2z(M0)<0 для всех точек M из окрестности Oδ(M0), то и Δz<0. В этом случае функция u = f(x1, … ,xn) имеет максимум в точке M0 .
Таким образом, достаточным условием экстремума функции нескольких переменных в ее стационарной точке является знакоопределенность (положительная или отрицательная определенность) дифференциала 2–го порядка в этой точке.
Достаточные условия экстремума функции 2–х переменных
Теорема. Пусть функция z = f(x, y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в стационарной точке M(x0, y0) (т.е. z'x (x0, y0) = z'y(x0, y0) = 0 ):
A = z''xx(x0, y0), B = z''xy(x0, y0), C = z''yy(x0, y0). |
Тогда:
если AC − B20 , то M — точка экстремума, причем при A0 — точка минимума, при A<0 — точка максимума;
если AC − B2<0 , то M не является точкой экстремума;
если AC − B2 = 0 , то требуется дополнительное исследование.