38.Эллипс, каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет эллипса.

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁,F₂ (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.

Элементы эллипса:  A₁A₂=2a - большая ось.

B₁B₂=2b - большая ось.

A₁ ,A₂ , B_{1 ,}B_{2 ,} - вершины.

 F₁(c ; 0), F₂(-c ; 0) – фокусы.

 F₁F₂=2c - фокальное расстояние c²=a²-b²

 - эксцентриситет. Эксцентриситет эллипса можно рассматривать, как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет, тем меньше отношение    r₁=a-εx, r₂= a+εx - фокальные радиусы   - директрисы.

Каноническое уравнение эллипса (координатные оси совпадают с осями эллипса):

Параметрические уравнения:

.      

39.Гипербола, каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет гиперболы. Асимптоты гиперболы.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.  Пусть на плоскости заданы две точки   и     и дано число a (0<a<c). Гипербола - множество точек M плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от точек   и   равен 2a. Точки   и   называются фокусами гиперболы;   - действительная ось;   - мнимая ось; O - центр;   - левый и правый фокусы;   - вершины;   - фокальные радиусы: 

Каноническое уравнение: 

Отношение   называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а ² = b² :

Если а=b, e= , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Асимптоты гиперболы.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если при удалении от начала координат расстояние между ними стремится к нулю.

Уточним понятие расстояния от кривой L до прямой. Пусть М – произвольная (текущая) точка кривой L. Опустим из точки М перпендикуляр MN на прямую. Тогда наименьшее возможное значение длины этого перпендикуляра называется расстоянием от кривой L до данной прямой.

Пусть дана прямая   и кривая L. Пусть   – точка на кривой L,   – длина перпендикуляра, опущенного на прямую  а  из точки М,   – длина отрезка прямой, проходящей через точку М параллельно оси ординат, заключенного между прямой  а  и кривой L. Из построения следует, что если М(х, у) – координаты точки М, то   –координаты точки  . По определению, прямая а является асимптотой кривой L тогда и только тогда, когда   при  . В свою очередь  .

Таким образом, прямая а является асимптотой кривой L тогда и только тогда, когда .

Теорема. Для того, чтобы прямая а была асимптотой для кривой L необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Угол между прямой а и осью ординат Оу остается неизменным при любом расположении точки М на кривой L и не равным нулю (мы предполагаем, что прямая  ). Из прямоугольного треугольника MNK следует, что , где  . Отсюда,

. Теорема доказана.