Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x₀, y₀, z₀) и вектора нормали плоскости n = {A; B; C} можно использовать следующую формулу.

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x - x1	y - y1	z - z1	= 0
x2 - x1	y2 - y1	z2 - z1
x3 - x1	y3 - y1	z3 - z1

3 6. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

Получим канонические уравнения прямой a в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка   лежит на прямой а и   - направляющий вектор прямой а.

Очевидно, что множество точек   трехмерного пространства определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы   и   коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов   и   в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора   нам известны из условия. Осталось вычислить координаты вектора   - они равны разности соответствующих координат точек   и  , то есть,   (при необходимости смотритенахождение координат вектора по координатам точек). Теперь записываем условие коллинеарности векторов   и  : , где   - произвольное действительное число (при   точки   и   совпадают, что нас тоже устраивает).

Если  , то каждое уравнение системы   можно разрешить относительно параметра   и приравнять правые части:

Полученные уравнения вида   в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения   есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz. Их также называют уравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.

37.Общее уравнение линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.

Кривые второго порядка – это эллипс, окружность, гипербола и парабола.

Уравнение второго порядка относительно переменных   и   вида   описывает кривые второго порядка.

Надо отметить, что в уравнении отсутствует слагаемое, содержащее произведение  . Этот факт объясняется следующим образом. Рассматриваемое уравнение второго порядка можно привести к каноническому виду, выполняя линейные преобразования. С геометрической точки зрения это выглядит как параллельный перенос системы координат. Если же работать с уравнением  , то здесь надо сначала повернуть систему координат, а затем осуществить ее параллельный перенос. Предметом нашего исследования будут уравнения, не содержащие слагаемое с произведением  , как более простые.

Заметим, что по виду уравнения   можно сразу определить вид кривой второго порядка. 

1)    если коэффициенты А и В равны ( ), то уравнение может описывать окружность;

2)    если коэффициенты    и    не равны ( ), но имеют одинаковые знаки,  то уравнение может описывать эллипс;

3)    если коэффициенты    и    не равны ( ) и имеют разные знаки,  то уравнение может описывать гиперболу;

4)    если один из коэффициентов   или    равен нулю (  или  ), т. е. отсутствует слагаемое, содержащее квадрат переменной   или  , то такое уравнение может описывать параболу.

К ривые, заданные уравнением  , имеют смещенные оси симметрии, а значит и центр  симметрии или координаты вершин.

Центр окружности, радиус окружности.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности. Пусть центр окружности находится в точке С(а, b). Т.к. окружность есть множество точек М(х, у), находящихся на расстоянии R (радиус окужности) от центра С(а, b), то  , то есть