33.Уравнение прямой в отрезках, нормальное уравнение прямой. Расстояние от заданной точки до прямой.

Уравнение прямой в отрезках: , где  ,  . При этом x = a при y = 0 и y = b при x = 0, т.е. величины a и b  это отрезки, которые отсекает прямая на соответственно координатных осях Ox и Oy, считая от начала координат. Полученное уравнение имеет название уравнение прямой в отрезках, а величины a и b - отрезки прямой на осях координат.

 Если обе части общего уравнения прямой умножить на нормирующий множитель   (выбрав знак + , если C<0 и знак - , если C>0). Тогда получим нормальное уравнение прямой:  .

Здесь   равна длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а угол   при этом есть угол между этим перпендикуляром и положительным направлением оси абсцисс.  Расстояние от заданной точки до прямой можно найти, используя геометрическую интерпретацию нормального уравнения прямой. А именно, если начало координат переместить в заданную точку P, то искомым расстоянием до прямой будет длина перпендикуляра из нового начала координат до прямой. Расстояние от точки M(x_o;y_o)  до прямой   равно 

34.Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Определение. Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁ , y = k ₂x + b₂ , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂ . Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂ . 

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λА, В₁ = λВ. Если еще и С₁ = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.Это условие может быть записано также в виде k₁k₂ = -1.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

35.Общее уравнение алоскости.

Плоскость - есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a		b		c