Полярная система координат.

Для описания положения точки P плоскости x0y можно использовать полярные координаты r и φ, где r – расстояние от точки P до начала координат, называемого полюсом; φ – угол, образованный лучом 0P с положительным направлением оси 0x (полярной осью).  Полярные координаты   точки связаны с ее декартовыми прямоугольными координатами  простыми соотношениями:

или

Координатными линиями в полярной системе координат являются концентрические окружности   и лучи  .

31.Расстояние между двумя точками на плоскости. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть заданы две точки и . Требуется найти расстояние АВ между ними. По теореме Пифагора:  (рис 1).

(1)

Расстояние между двумя точками на плоскости равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноимённых координат.

Слагаемые в круглых скобках можно менять местами, т.к. каждая скобка возводится в квадрат.

Деление отрезка в данном отношении

Пусть  и концы отрезка АВ. Точка делит отрезок АВ в отношении .

Т

Рис. 1

ребуется найти координаты точки С (рисунок 2).

Рис. 3

Так как  ( на основе теоремы о пересечении отрезка параллельными  (2) (3) Если разрешить уравнения (1.2) относительно Х и У получатся формулы (1.3). Если =1, то есть точка С - середина АВ, и ;  (4)

Замечание.  Если точка С вне отрезка АВ- за концом отрезка, то - отрицательное число (рисунок 3).

, т.к. направление отрезков АС и СВ - противоположны .

б) С - за началом отрезка (рисунок 4). и  .

32. Уравнение прямой на плоскости, уравнение с угловым коэффициентом, общее уравнение прямой.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оxy.

Теорема. Всякое уравнение первой степени вида формула, где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида формула при некотором наборе значений A, B и C.

Доказательство

Как видите, теорема состоит из двух частей. Докажем сначала, что уравнение вида   задает прямую на плоскости. Пусть координаты точки Mo(xo,yo)  удовлетворяют уравнению  , то есть, . Вычтем из левой и правой частей уравнения   соответственно левую и правую части равенства  , при этом получаем уравнение вида , которое эквивалентно  . Уравнение   представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов   и  . То есть, множество всех точек M(x,y)  определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора  . Если бы это было не так, то векторы   и   не были бы перпендикулярными и равенство  не выполнялось бы. Таким образом, уравнение   задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида   задает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана. Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида  . Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку Mo(xo,yo)  ,   - нормальный вектор прямой a, и пусть M(x,y)   - плавающая точка этой прямой. Тогда векторы   и   перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, . Полученное равенство можно переписать в виде  . Если принять  , то получим уравнение  , которое соответствует прямой a. На этом доказательство теоремы завершено.

Уравнение прямой на плоскости. Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k - угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости. Если прямая проходит через две точки A(x1, y1) и B(x2, y2), такие что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x - x1	=	y - y1
x2 - x1		y2 - y1

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки и B(x2, y2, z2), такие что x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 и z1 ≠ z2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x - x1	=	y - y1	=	z - z1
x2 - x1		y2 - y1		z2 - z1