Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = {a_x ; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α =	ax	;	cos β =	ay
	|a|			|a|

Свойство: cos² α + cos² β = 1

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач.

cos α =	ax	;	cos β =	ay	;	cos γ =	az
	|a|			|a|			|a|

Свойство: cos² α + cos² β + cos² γ = 1

Сложение двух векторов производится поэлементно, то есть если  , то в координатной форме записывается:

. (2.18)

Данная формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.

Вычитание двух векторов производится поэлементно, аналогично сложению, то есть если  ,

. (2.19)

Геометрически два вектора складываются по правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

Умножение вектора на число   покоординатно:  . При   – вектор сонаправлен первоначальному;

 – вектор противоположно направлен первоначальному;  – длина вектора увеличивается в   раз;  – длина вектора уменьшается в   раз.

28.Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними: a · b = |a| · |b| cos α

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами.

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} иb = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; ... ; a_n} иb = {b₁ ; b₂ ; ... ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + ... + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

1.Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля: a · a ≥ 2.Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору: a · a = 0   <=>   a = 0

3.Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля: a · a = |a|²

4.Операция скалярного умножения коммуникативна: a · b = b · a

5.Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны: a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

6.(αa) · b = α(a · b)

7.Операция скалярного умножения дистрибутивна: (a + b) · c = a · c + b · c