2 5.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов казалась трапециевидной или близкой к трапециевидной.

При решении методом Гаусса систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно:

1.переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);

2.если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;

3.удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;

4.любую строку умножать или делить на некоторое число;

5.к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.

Пусть дана система линейных уравнений.

Для упрощения решения составим расширенную матрицу системы:

Для удобства деления коэффициентов при переменных переставим местами первую и вторую строки матрицы системы:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на   (в нашем случае на  ), к третьей – первую строку, умноженную на   (в нашем случае на  ). Это возможно, так как 

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x:

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на   и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую, умноженную на   (в нашем случае на  ). В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

26. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю.

Например:

Решение: чтобы решить  однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система  , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно. Ответ: 

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов   , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов   , где   – произвольные действительные числа.