22. Обратная матрица. Матричные уравнения.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: {\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E} АА^-1 = А^-1 А = E. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам. Фактически нужно использовать алгоритм решения детского уравнения с числами.

Как решить матричное уравнение?

В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака: .

Причёсываем правую часть:

Выразим  , для этого обе части уравнения умножим на  :

Все числа матрицы делятся на 2, поэтому уместно избавиться от дроби. А заодно и от «минуса». Делим каждый элемент матрицы на –2:

Ответ: 

Обратная матрица.

A-1 =	1	ÃT
	det(A)

23 Системы линейных уравнений: основные понятия, решение систем линейных уравнений.

Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с nнеизвестными переменными (p может быть равно n) вида

 - неизвестные переменные,   - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа),   - свободные члены (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид 

 - основная матрица системы,  - матрица-столбец неизвестных переменных,

   - матрица-столбец свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть, Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных  , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение   при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество 

24.Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.

невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом либо по формулам Крамера: .

Матричный способ:

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

или в матричной форме А*Х=В. Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае D¹0.. Умножив обе части уравнения А*Х=В слева на матрицу A^-1, получим A^-1*A*X=A^-1*B Поскольку. A^-1*A=E  и Е*Х=Х , то X=A^-1*B       

то есть

Отсюда следует, что

Но   есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель D₁ получается из определителя D  путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично:  ,

 где D2  получен из D  путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов: ,...,