1.Комплексные числа: основные понятия. Геометрическое изображение. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.

Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая  D < 0.

Комплексные числа  записываются в виде:  a+bi. Здесь  a и b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i ²= –1. Число  a называется абсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+bi. Два комплексных числа  a+bi и  a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

1.  Действительное число  а  может быть также записано в форме комплексного числа:  a+0i  или  a–0i.

2.  Комплексное число 0+bi  называется чисто мнимым числом.

3.  Два комплексных числа  a+bi и c+di считаются равными, если  a= c и b= d.

Г еометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой: 

 

В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Комплексное число a+bi будет представлено точкой  Р  с абсциссой а и ординатой b. Эта система координат называется комплексной плоскостью.

М одулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+bi обозначается  |a+bi| или буквой r и равен: Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.               

Аргумент комплексного числа - это угол   между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan   = b/a . 

   – это и есть алгебраическая форма комплексного числа.

Т ригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу  a и ординату b комплексного числа  a+bi можно выразить через его модуль  r  и аргумент   :

 

 Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

 

        

Формула Муавра.

Здесь  k  - целое. Чтобы получить  n  различных значений корня  n-ой степени из  z  необходимо задать  n  последовательных значений для k (например,  k= 0, 1, 2,…, n–1).

2.Арифметические действия над комплексными числами. (сложение-вычитание, умножение, деление.

Сложение.  Суммой комплексных чисел  a+bi и c+di называется комплексное число (a+c)+(b+d)i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Вычитание.  Разностью двух комплексных чисел  a+bi и c+di называется комплексное число (a–c)+(b–d)i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение.  Произведением комплексных чисел  a+bi и c+di называется комплексное число: (ac–bd)+(ad+bc)i. Это определение вытекает из двух требований:

1)  числа  a+bi и c+di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2)  число i  обладает основным свойством:  i ²=–1.

 Пример. (a+bi)(a–bi)=a²+b². Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

 Деление. Разделить комплексное число  a+ bi на другое c+ di - значит найти третье число  e+ f i. Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Пример. Найти (8+i):(2–3i) .

Решение. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на  2+3i

и выполнив все преобразования, получим:                              

3.Числовая последовательность, предел числовой последовательности.\

Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служит сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае

Ч исловой последовательностью называется бесконечное множество чисел

(1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого   задается как функция целочисленного аргумента,   т.е.  .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого  существует число   , такое, что при  выполняется неравенство   . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

 если   .