4. Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция y=f(x) – дифференцируема в точке x₀, т.е. существует производная в точке x₀, т.е. существует y’(x₀)=

lim y’=lim + +α(x)=

В этом случае приращение функции можно записать в виде:

(1)

dy- дифференциал функции

Дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции, равная y’(x₀)* .

По определению:

dy=y’(x₀)* (2)

Если y=x (2): dx=x’*

(3)

(3) (2)

dy=y’*dx (4)

Молитва: дифференциал функции равен производной функции, умноженной на дифференциал независимой переменной!!!!!!!!!!

(5)

Дифференциалы высших порядков.

dy=y’*dx (4) дифференциал 1 порядка.

Определение: дифференциалом 2 порядка называется дифференциал от дифференциала функции.

d²y – дифференциал 2 порядка.

По определению:

d²y=d(dy)=d(y’dx)=(y’dx)’*dx=y’’*(dx)²=y’’dx²

d²y=y’’dx²-дифференциал 2 порядка.

d³y=y’’’dx³-дифференциал 3 порядка.

dⁿy=y⁽ⁿ⁾dxⁿ – дифференциал n-го порядка. (6)

y⁽ⁿ⁾= (7)

4. Правило Лопиталя и его применение к вычислению пределов.

При исследовании функции может появиться необходимость нахож­дения предела дроби , числитель и знаменатель которой при x->a

стремятся к нулю или к бесконечности. Нахождение таких пределов назы­вают раскрытием неопределенностей соответствующего вида. Основой его является правило Лопиталя, выражаемое следующей теоремой.

Теорема. Если функции f (x) и g (x) дифференцируемы в окрестно­сти точки x = a, обращаются в нуль в этой точке, и существует предел от- r f'( x)

ношения при x -> a, то существует и предел отношения самих

функций, равный отношению производных, т.е.:

Замечания:

1. Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей

2. Правило Лопиталя (13) справедливо и для случая, когда

3. Правило Лопиталя можно применять повторно, если производные функций удовлетворяют условиям, сформулированным для функ­ций.

Решение. При х -> -5 числитель и знаменатель данной дроби стре­

мятся нулю, т.е. вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности

типа и мы можем применить правило Лопиталя.

Вычисляя предел по правилу Лопиталя, получим

6) Приложения производной к исследованию функций: аналитические признаки возрастания и убывания функций, исследование функции на экстремум. Необходимое и достаточное условие существования экстремума.

Аналитические признаки возраст/убыв(монотонности)функции

Если функция y  f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале(a,b),причем f(x)0 (f(x)0)для axb,то

эта функция возрастает (убывает) на отрезке [a, b]. Таким образом, знак производной позволяет определить, возрастает

или убывает функция в заданном интервале: если y  0  y  (функция возрастает); (1)

если y  0  y  (функция убывает). (2)

Теорема: если ф-я возрастает, то производная функции положительна, и наоборот

Экстремумы функции

Определение. Экстремумами называют локальные максимумы и

минимумы функции.

Теорема. Необходимое условие существования экстремума.

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке х, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не сущ, наз стационарными(критическими)точками производной.

Критические точки- точки “подозрительные” на экстремумы.

Если функция достигает экстремума в какои-либо точке, то это мо- жет случиться только в критической точке. Но условие не является достаточным для существования экстремума, т.е. обратное утверждение не верно:не при всяком знач х, при которм производная обращ в нуль, обязательно ceo макс или мин функции.

Теорема 2: 1-ое достаточное условие cущ экстремума

Если в точке х=х₀ прозводная функции y  f (x)>0 и меняет знак при переходе через эту точку, то точка х=х₀ явл точкой экстремума, причем если производная меняеет знак с + на - , то х₀-точка макс, а если с – на +, то х₀- точка мин.

Теорема 3: 2-ое достаточное условие сущ экстремума

Если в точке х=х₀ первая производная =0, а ее вторая производная отлична от нуля, то точка х₀- точка экстремума, причем если у^,,(х₀)<0, то х₀-точка макс; а если у^,,(х₀)>0, то х₀-точка мин.

7)Выпуклость, вогнутость и точки перегиба плоской кривой. Аналитические признаки выпуклости и вогнутости функции. Исследование функции на точки перегиба: необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.

Рассмотрим на плоскости кривую, являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функции y  f ( x) .

Определение. Кривая y  f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже любои ее касательнои на этом интервале. Кривая называется вогнутой на интервале (a, b), если все точки кривои лежат выше любои ее касательнои на этом интервале. (выпуклая,когда y<0(знак -), вогнутая, когда y>0(знак +))

Знак второй производной функции y  f (x) позволяет определить, выпукла или вогнута кривая графика функции в заданном интервале.

Теорема. Аналитич признаки вып/вогн

Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции y  f (x) отрицательна (положительна), то кривая y  f (x) на этом интервале выпукла (вогнута), т.е.:

если y0кривая выпукла; (1)

если y  0  кривая вогнута. (2)

Определение. Точка кривой, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Теорема 2. Необходимое условие существования точки перегиба.

Если кривая y=f(x) имеет перегиб в точке х, то вторая производная функции y в этой точке равна нулю или не существует, т.е.:

если х₀-точка перегиба, то игрик штрих(х)=0 или не существует (3) (необходимое усл ceo точки перегиба)

Условие (3) не явл доствточным для ceo точки перегиба, поэтому обратное утверждение неверно.

Определение. Точка, в которой два произведения равны нулю-критическая

Теорема 3. Добавочное условие существования точки перегиба

Если в точке х вторая производная у^, обращается в нуль и меняет знак при переходн ерез нее, то х-точка перегиба кривой у=f(x)

Пример :

Найти точки перегиба и определить интервалы вогнутости и выпуклости кривой y=x³

1. Найдем первую и вторую производные (y^,=3x² ; у^,,=6х)

2. Найдем критические точки второй производной. Вторая производная ceo всюду. Найдем точки, в которых у^,,=0: 6х=0 и х=0

3. Исследуем знак второй производной слева и справа от критической точки х=0.

При х<0 имеем у^,,<0-кривая выпукла

При х>0 имем у^,,>0-кривая вогнута

Вторая производная меняет знак при переходе через точку х=0, следовательно, при х=0 на кривой имеется точка перегиба, координаты которой (0;0)