1. Производная функции: определение, геометрический и механический смыслы.

Определение. Производной функции в точке x₀ называется

предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента,

при стремлении приращения аргумента к нулю.

Обозначения производной:

(1)

Операция нахождения производной данной функции называется

дифференцированием функции. Если существует конечный предел (1),

то говорят, что функция дифференцируема в данной точке ( имеет произ-

водную).

Скорость движения, механический смысл производной

Рассмотрим неравномерное прямолинейное движение некоторого

твердого тела (точки), считая, что путь зависит от времени по закону

S = f (t) .

Пусть в некоторый момент времени t точка находилась на расстоя-

нии S от некоторого начального положения, а в некоторый следующий

момент t + t точка оказалась на расстоянии S + S от начального положе-

ния.

Нас будет интересовать скорость перемещения точки в момент вре-

мени t или мгновенная скорость.

Определим среднюю скорость движения точки за время t

Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать

быстроту перемещения точки в момент t. Для того, чтобы точнее выразить

эту истинную (мгновенную) скорость с помощью редней скорости, надо

взять меньший промежуток времени t . Наиболее полно характеризует

скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится

средняя скорость при t 0 . Этот предел и называют мгновенной скоро-

стью движения:

Такой предел называют производной данной функции S в данной

точке t и обозначают:

Таким образом, мгновенная скорость движения есть

механический смысл производной: мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движенияесть производная от пути по времени.

геометрический смысл производной: про-

изводная от функции в точке равна тангенсу угла между осью Ox и каса-

тельной к графику функции в данной точке.

y^`(x_o ) = tg

2. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.

Основные правила дифференцирования

1.Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна

сумме (разности) производных этих функций т.е.:

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна

произведению производной первой функции на вторую функцию плюс

произведение производной второй функции на первую функцию, т.е.:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.:

4. Производная произведения нескольких дифференци-

руемых функций равна сумме произведений производной каждой из них

на все остальные, т.е.:

5. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется

формулой:

3. Производные высших порядков

Производную y' = f'( x ) функции у = f (x) называют первой произ­водной этой функции или производной первого порядка.

Определение. Производная от первой производной функции y' = f'(x) называется второй производной или производной второго поряд­ка и обозначается как у" или f" (x).

По определению

у " = (у ') '(1) Для второй производной используется также

обозначение ,

указывающее, что функция у = f (x) была продифференцирована по x два раза.

Механический смысл второй производной - вторая производная от пути по времени есть ускорение

S'' (t) = (S'(t)) ' = V' (t) = a .

Производная от второй производной называется третьей производ­ной функции у = f (x) (или производной функции третьего порядка) и обозначается символом у''' или

у''' = (у ") '.

Производная n-ого порядка функции у = f (x) (n-я производная) есть производная от (n - 1) -ой производной:

(2)

Производные, начиная со второй, называются производными высше­го порядка.

Пример 1. Найти производную n-ого порядка функции у = e^xx.

Решение.