4.Предел функции, основные теоремы о пределах. Два замечательных предела. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Постоянное число а называется пределом последовательности{x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 существует номер N, что все значения x_n, у которых n>N, удовлетворяют неравенству |x_n-a|< ε. (6.1)

Записывают это следующим образом:   или x_n→a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству a-ε<x_n<a+ε, (6.2)

которое означает, что точки x_n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε, a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а.

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n=f(n) целочисленного аргумента n.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если для всякой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x_n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предел функции по Гейне.

Определение 2. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ>0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0<x-a< ε, значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A|<ε. Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ“.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x→a имеет предел, равный А, это записывается в виде (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной. Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной.

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существует каждый предел   

(6.4) (6.5) (6.6)

Замечание. Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0*∞, - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема2 .  (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,  ;

  (6.8) (6.9)

Теорема 3.      

(6.10) (6.11)

где e→2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого замечательного предела и второго замечательного предела.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

    (6.12) (6.13) (6.14)

в частности предел,

Функция   называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при   (или в точке   ), если 

Основные свойства бесконечно малых функций

1. Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2. Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3. Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4. Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5. Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6. Функция  , обратная к б.м функции  , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ - функция переменного х, к-рая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функция f(x), определенная в окрестности точки х₀, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x₀, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х₀ и таких, что |х - х₀ | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:

Аналогичным образом определяются

Напр., означает, что для любого М>0 найдется такое δ=δ (M)>0, что для всех z<-δ выполняется неравенство f(x)>M.