Нулевая и альтернативная гипотезы

При проверке статистических гипотез используются два понятия: нулевая (обозначение  ) и альтернативная гипотеза (обозначение  .).

Нулевая гипотеза  — это гипотеза о сходстве, а альтернативная  — гипотеза о различии.

Принятие нулевой гипотезы  свидетельствует об отсутствии различий, а гипотезы  о наличии различий.

Например, две выборки излечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, причем одна выборка имеет параметры  и  , а другая параметры  и  , то нулевая гипотеза исходит из предположения о том, что =  ,  =  , те разность двух средних  –  = 0 и разность двух стандартных отклонений  –  = 0 (отсюда и название гипотезы — нулевая).

Принятие альтернативной гипотезы  свидетельствует о наличии различий и исходит из предположения, что  –   0 и  –   0.

Вообще говоря, при принятии или отвержении гипотез возможны различные варианты.

Например, психолог провел выборочное тестирование показателей интеллекта у группы подростков из полных и неполных семей. В результате обработки экспериментальных данных установлено, что у подростков из неполных семей показатели интеллекта в среднем ниже, чем у их ровесников из полных семей. Может ли психолог на основе полученных результатов сделать вывод о том, что неполная семья ведет к снижению интеллекта у подростков? Принимаемый в таких случаях вывод носит называние статистического решения. Подчеркнем, что такое решение всегда вероятностно.

При проверке гипотезы экспериментальные данные могут противоречить гипотезе  , тогда эта гипотеза отклоняется. В противном случае, если экспериментальные данные согласуются с гипотезой  , она не отклоняется. В таких случаях говорят, что гипотеза  принимается (хотя такая формулировка не совсем точна, однако она широко распространена и мы ею будем пользоваться в дальнейшем).

Статистическая проверка гипотез, основанная на экспериментальных, выборочных данных, неизбежно связана с риском (вероятностью) принять ложное решение. При этом возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода произойдет, когда будет принято решение отклонить гипотезу  , хотя в действительности она оказывается верной. Ошибка второго рода произойдет, когда будет принято решение не отклонять гипотезу  , хотя в действительности она будет неверна. Очевидно, что и правильные выводы могут быть приняты также в двух случаях.

Поскольку исключить ошибки при принятии статистических гипотез невозможно, необходимо минимизировать возможные последствия, те. принятие неверной статистической гипотезы. В большинстве случаев единственный путь минимизации ошибок заключается в увеличении объема выборки.

Виды гипотез. Ошибки первого и второго рода

 

Гипотеза - это предположение о некоторых свойствах изучаемых явлений. Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, которое можно проверить статистически, то есть опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке. Рассматривают два вида статистических гипотез: гипотезы о законах распределения генеральной совокупности и гипотезы о параметрах известных распределений.

Так, гипотеза о том, что затраты времени на сборку узла машины в группе механических цехов, выпускающих продукцию одного наименования и имеющих примерно одинаковые технико-экономические условия производства, распределяются по нормальному закону, является гипотезой о законе распределения. А гипотеза о том, что производительность труда рабочих в двух бригадах, выполняющих одну и ту же работу в одинаковых условиях, не различается (при этом производительность труда рабочих каждой бригады имеет нормальный закон распределения), является гипотезой о параметрах распределения.

Подлежащая проверке гипотеза называется нулевой, или основной, и обозначается Н₀. Нулевой гипотезе противопоставляют конкурирующую, или альтернативную, гипотезу, которую обозначают Н₁. Как правило, конкурирующая гипотеза Н₁ является логическим отрицанием основной гипотезы Н_0.

Примером нулевой гипотезы может быть следующая: средние двух нормально распределенных генеральных совокупностей равны, тогда конкурирующая гипотеза может состоять из предположения, что средние не равны. Символически это записывается так:

Н₀: М(Х) = М(Y); Н₁: М(Х)   М(Y) .

Если нулевая (выдвинутая) гипотеза будет отвергнута, то имеет место конкурирующая гипотеза.

Различают гипотезы простые и сложные. Если гипотеза содержит только одно предположение, то это - простаягипотеза. Сложная гипотеза состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Например, гипотеза Н₀: p = p₀ (неизвестная вероятность p равна гипотетической вероятности p₀) - простая, а гипотеза Н₀: p < p₀ - сложная, она состоит из бесчисленного множества простых гипотез вида Н₀: p = p_i , где p_i - любое число, меньше p₀ .

Выдвигаемая статистическая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому необходимо ее проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке; проверку производят статистическими методами, поэтому ее называют статистической.

При проверке статистической гипотезы пользуются специально составленной случайной величиной, называемойстатистическим критерием (или статистикой). Принимаемое заключение о правильности (или неправильности) гипотезы основывается на изучении распределения этой случайной величины по данным выборки. Поэтому статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер: всегда существует риск допустить ошибку при принятии (отклонении) гипотезы. При этом возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута нулевая гипотеза, хотя на самом деле она верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза, хотя в действительности верна конкурирующая.

В большинстве случаев последствия указанных ошибок неравнозначны. Что лучше или хуже - зависит от конкретной постановки задачи и содержания нулевой гипотезы. Рассмотрим примеры. Допустим, что на предприятии о качестве продукции судят по результатам выборочного контроля. Если выборочная доля брака не превышает заранее установленной величины p₀, то партия принимается. Другими словами, выдвигается нулевая гипотеза: Н₀: p   p₀. Если при проверке этой гипотезы допущена ошибка первого рода, то мы забракуем годную продукцию. Если же совершена ошибка второго рода, то потребителю будет отправлен брак. Очевидно, что последствия ошибки второго рода могут быть значительно более серьезными.

Другой пример можно привести из области юриспруденции. Будем рассматривать работу судей как действия по проверке презумпции невиновности подсудимого. В качестве основной проверяемой гипотезы следует рассмотреть гипотезу Н₀: подсудимый невиновен. Тогда альтернативной гипотезой Н₁ является гипотеза: обвиняемый виновен в совершении преступления. Очевидно, что суд может совершить ошибки первого или второго рода при вынесении приговора подсудимому. Если допущена ошибка первого рода, то это означает, что суд наказал невиновного: подсудимому был вынесен обвинительный приговор, когда на самом деле он не совершал преступления. Если же судьи допустили ошибку второго рода, то это значит, что суд вынес оправдательный приговор, когда на самом деле обвиняемый виновен в совершении преступления. Очевидно, что последствия ошибки первого рода для обвиняемого будут значительно более серьезными, в то время как для общества наиболее опасными являются последствия ошибки второго рода.

загрузка...

Вероятность совершить ошибку первого рода называют уровнем значимости критерия и обозначают   .

В большинстве случаев уровень значимости критерия   принимают равным 0,01 или 0,05. Если, например, уровень значимости принят равным 0,01, то это означает, что в одном случае из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (то есть отвергнуть правильную нулевую гипотезу).

Вероятность совершить ошибку второго рода обозначают   . Вероятность   не совершить ошибку второго рода, то есть отвергнуть нулевую гипотезу, когда она неверна, называется мощностью критерия.