Построение круга Мора по заданным нормальным и касательным напряжениям

Задача

Построить круг Мора для случая плоского напряженного состояния, показанного на рисунке.

Известны направления и значения нормальных и касательных напряжений.

Решение

Круг Мора строится в плоской системе координат σ-τ.

Для построения круга потребуются нормальные и касательные напряжения с двух любых взаимно перпендикулярных площадок (например, правой и верхней) при этом ось σ системы направляется вдоль большего (с учетом знака) из нормальных напряжений.

Начнем с правой площадки элемента. Из центра системы координат отложим вдоль оси σ значение соответствующего нормального напряжения σ_α=80МПа с учетом его знака.

Из конечной точки отрезка отложим вдоль оси τ значение соответствующего касательного напряжения τ_α=40МПа так же с учетом знака.

На конце последнего отрезка отметим точку, обозначив ее буквой A.

Аналогично для верхней площадки элемента.

Согласно закона парности касательных напряжений, точки A и B всегда будут расположены по разные стороны от оси σ и равноудалены от нее.

Для главных напряжений (при отсутствии касательных) точки A и B останутся на оси нормальных напряжений.

Полученные точки A и B соединяем отрезком.

На отрезке AB как на диаметре вычерчиваем окружность, с центром в точке пересечения отрезка AB с осью σ системы координат.

Круг Мора построен.

Множество точек полученной окружности показывают величину и знак нормальных и касательных напряжений при соответствующем положении площадок элемента.

Точки пересечения круга Мора с осью σ показывают величину и знаки главных напряжений.

12. Виды напряженных состояний.

Напряженное состояние называется объемным или трехосным, если все три главных напряжения отличны от нуля. Такое напряженное состояние возникает, например, в зоне контакта зубьев шестерни или шарика и кольца подшипника.

Напряженное состояние называется плоским или двухосным, когда одно из трех главных напряжений равно нулю .Этот вид напряженного состояния наиболее часто встречается в расчетах на прочность. Такое напряженное состояние возникает при кручении круглых валов, в брусе, работающем на изгиб и т.д.

Напряженное состояние называется линейным или одноосным, если два из трех главных напряжений равны нулю. Коэффициент пропорциональности µ называется коэффициентом Пуассона.έ – относительное удлинение бруса. t-касатеьное напряжение, у- угловая деформация.

13. Объемная деформация. Энергия упругих деформаций.

выражение объемной деформации позволяет установить предельное значение коэффициента пуасона для любого изотропного материала. Оно справедляво для любого напряженного состояния. При растяжении или сжатии стержня внешние силы совершают работу. Из закона Гука следует, что сила не остается во время деформации постоянной. Она меняется пропорционально изменению длины стержня ΔL. Потенциальная энергия упруго деформированного стержня оказывается пропорциональной квадрату абсолютного удлинения образца.

14. Сложное сопротивление. Критерии возникновения пластических деформаций. Гипотеза максимальных касательных напряжений.

Сложное сопротивление — случаи одновременного действия двух или более простейших видов деформаций стержня: растяжения-Сжатия, кручения и изгиба. При малых упругих деформациях расчеты стержней насложное сопротивление выполняются на основе принципа независимости действия сил.

Критерии:

- пластическая деформация в металлах возникает в результате необратимых сдвигов в кристаллической решетке. Сначала пластическая деформация возникает в отдельных, неблагоприятно ориентированных зернах. Возрастание нагрузки вовлекает в пластическую деформацию новые микрообласти, и, когда пластической деформацией охватывается подавляющее множество зерен, мы можем говорить о том, что произошел переход к пластическому состоянию.

- переход к пластическому состоянию связан с уровнем накопленной в единице объема потенциальной энергии деформации. Но принять в качестве критерия пластичности всю энергию деформации нельзя. Это противоречило бы экспериментально установленному факту, что при всестороннем давлении пластические деформации не возникают, в то время как потенциальная энергия неограниченно возрастает.

Согласно этой гипотезе, предложенной в конце XVIII в., опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельной величины.

Согласно третьей гипотезе прочности наибольших касательных напряжений, причиной разрушения материала являются наибольшие Касательные напряжения. Максимальное касательное напряжение для заданного объемного напряженного состояния и эквивалентного ему линейного напряженного состояния одинаковы:  .

Формула наибольшего касательного напряжения при объемном напряженном состоянии:  . Эквивалентное напряжение при одноосном растяжении:  .

Условие прочности по третьей гипотезе прочности: