4. Учебно-методические материалы

Опорным учебно-методическим материалом являются слайд-лекции.

Для практических занятий подобраны задачи, фрагмент которых представлен ниже.

Занятие №1

Тема: Флуктуации Задачи

1.1. Исследовать флуктуации энтропии и давления в паров ртути, если среднее значение температуры равно 2000 К, а среднее значение давления 0,01 мбар.

Решение.1.1. Согласно формулам и , приращение энергии Гиббса подсистемы и изменение энтропии системы как целого связанны соотношением

, (1)

где , , - флуктуации величин, относящихся к рассматриваемой подсистеме, а и - средние равновесные значения температуры и давления для системы в целом. Отсюда для статистического веса получаем выражение

. (2)

Флуктуацию внутренней энергии можно разложить в ряд

. (3)

Первый закон термодинамики гласит

. (4)

Отсюда имеем

, . (5)

Подставляя соотношения (5) в (3), получаем

. (6)

На основании первого из соотношений (5) можно записать

, (7)

А на основании второго имеем

. (8)

Тогда из (6) находим

. (9)

С помощью (2) и (9) получаем

. (10)

Флуктуации не являются независимыми друг от друга. Флуктуации и можно записать в виде

, (11)

так что независимыми остаются только флуктуации и . Преобразуем показатель экспоненты выражения (10) в соответствии с (11)

. (12)

Рассмотрим дифференциал энтальпии

, (13)

из которого вытекает соотношение

. (14)

Поэтому в (12) смешанные члены с сокращаются. В формуле все величины отнесены к 1 кмоль. Если принять во внимание, что соотношение (12) относится к числу киломолей n, которое еще подлежит определению, то вместо следует написать

, (15)

где молярная теплоемкость, т.е. теплоемкость, отнесенная к 1 кмолю.

Подставляя (12) в (10) и учитывая (15), получаем

. (16)

Плотность вероятности

отвечает нормальному закону распределения с дисперсией

. (17)

Из сравнения (16) и (17) следует, что средний квадрат флуктуации энтропии равен

. (18)

Путем сравнения с распределением Гаусса при учете уравнения адиабаты и уравнения состояния идеального газа получаем для среднего квадрата флуктуации давления

, (19)

где среднее число частиц в рассматриваемом объеме 1 .

Таким образом, отклонения от средних значений весьма незначительны, несмотря на высокую плотность паров и малую величину объема (1 ), для которого эти отклонения определяются.

1.2. Определить относительную флуктуацию температуры при средней температуре и давлении мбар в объеме, равном 1 . Какова при указанных условиях относительная флуктуация объема для числа частиц, содержащегося в среднем в объеме, равном 1 ?

Решение.1.2. Статистический вес флуктуации определяется выражением

. (1)

Флуктуацию энтропии и флуктуацию давления запишется в виде

, (2)

Из дифференциала свободной энергии с учетом первого закона термодинамики получаем

, (3)

откуда

, . (4)

Следовательно,

. (5)

Далее, на основании имеем

;

при этом необходимо учитывать, что энтропия относительно только к рассматриваемому веществу.

Подставляя два последних выражения в первую из формул (2), находим

. (6)

Следовательно,

. (7)

Тогда статистический вес флуктуации , согласно (1), равен

. (8)

Из сравнения с плотностью вероятности нормального распределения

(9)

находим средние квадраты флуктуаций объема и температуры:

, . (10)

Отсюда при учете уравнения состояния идеального газа получаем относительную флуктуацию объема

, (11)

а для относительной флуктуации температуры с учетом закона равнораспределения имеем

. (12)

В соответствии с этим относительные флуктуации зависят только от числа частиц. Они тем меньше, чем больше частиц содержится в рассматриваемой части системы.

Поскольку при заданной температуре 300 колебания в молекуле кислорода еще не возбуждены, при численных расчетах молярную изохорную теплоемкость следует положить равной . Среднее число частиц находим по формуле

.

Подставляя это в (11) в (12), получаем

, .

Относительно большие флуктуации объясняются низким давлением и малостью рассматриваемого объема.

1.3. Найти флуктуацию числа частиц в 1 при нормальных условиях ( ).

Решение.1.3. Согласно формуле (10) из предыдущей задачи, средняя флуктуация квадрата объема равна

. (1)

Представим себе мысленно, что рассматриваемый объем отделен от остальной системы упругой перегородкой, и обозначим через N число частиц в этой замкнутой системе. Произведя деление, получаем из (1)

. (2)

При таком способе записи уже больше нельзя определить, какая из величин N и V поддерживается постоянной, а какая варьируется. Если теперь рассматривать число частиц в незамкнутом объеме, то можно представить (2)

в виде

.

Пользуясь уравнением идеального газа и учитывая соотношения , , получаем

. (3)

Следовательно, искомая флуктуация равна

, (4)

Откуда для средней относительной флуктуации имеем

. (5)

Таким образом, флуктуация числа частиц равна корню квадратному из числа частиц, а относительная флуктуация числа частиц равна величине, обратной корню из этого числа.

согласно (4), равна

.

Относительную флуктуацию находим из (5):

.

Задача 1.4. Наблюдаются флуктуационные колебания подвешенного зеркальца, имеющего момент инерции . Температура равна 300 К, измерение периода собственных колебаний дает величину . По кривой записи временной зависимости угла отклонения определено среднеквадратичное отклонение . Исходя из этого, вычислить постоянную Больцмана k и число Авогадро .

Рис.1. Флуктуации угла поворота вращающегося зеркала около нулевого положения.

Решение. 1.4. Для отклонения зеркальца на угол необходим крутящий момент

, (1)

Где D – жесткость на кручение. Записывая уравнение движения для крутящего момента

(2)

и подставляя его в (1), приходим к дифференциальному уравнению

. (3)

Решение этого уравнения имеет вид

. (4)

Частота собственных колебаний равна

, (5)

Откуда для жесткости на кручение получаем выражение

(6)

(рис.1).

Определим теперь энергию, необходимую для отклонения зеркальца на угол . С помощью формулы

(7)

Находим потенциальную энергию крутильных колебаний:

. (8)

Отсюда на основании закона распределения Гиббса определяем статистический вес флуктуационного отклонения:

. (9)

Из сравнения с распределением Гаусса получаем

. (10)

В соответствии с этим постоянную Больцмана k можно найти путем измерения величин и Т:

, (11)

Подставляя в эту формулу измеренные значения, получаем

. (12)

С помощью этой величины находим число Авогадро

. (13)

Задача 1.5. Опредеделить среднее значение , где - постоянная, а - флуктуирующие величины, подчиняющиеся гауссовому распределению

.

Решение1.4. Требуется вычислить интеграл

.

Преобразованием показатель подынтегральной экспоненты приводится к виду

,

после чего интегрирование дает

.

Согласно соотношению имеем и затем . Таким образом, с учетом выражения имеем окончательно

.

Задача 1.6. Найти средний квадрат флуктуации энергии (пользуясь в качестве независимых переменных и ).

Решение1.6. Имеем

Возводя в квадрат и усредняя, получим

Задача 1.7.. Найти (пользуясь переменными и ).

Решение1.7.

Задача 1.8.Найти (пользуясь переменными ).

Решение1.8.

.

Задача 1.9. Найти (пользуясь переменными ).

Решение1.9.

Задача 1.10. Найти (пользуясь переменными ).

Решение 1.10.

Задача 1.11. Найти (пользуясь переменными ).

Решение 1.11.

Задача 1.12. Найти средний квадрат флуктуационного отклонения вертикально висящего математического маятника.

Решение 1.12. Пусть - длина маятника - его масса, - угол отклонения от вертикали. Работа в данном случае есть просто механическая работа против силы тяжести при отклонении маятника; для малых :

Отсюда

Задача 1.13. Найти средний квадрат флуктуационного отклонения точек натянутой струны.

Решение 1.13. Пусть - длина струны, - сила ее натяжения. Рассмотрим точку, находящуюся на расстоянии от одного из концов струны, и пусть - ее поперечное смещение. Для определения мы должны рассмотреть равновесную форму струны при заданном смещении у точки ; она состоит из двух прямых отрезков, проведенных из точек закрепления струны в точку . Работа, затрачиваемая при такой деформации струны, равна

.

Отсюда находим для среднего квадрата

.

Задача 1.14. Определить среднее значение произведения флуктуационных смещений двух различных точек струны.

Решение 1.14. Пусть - поперечные смешения точек, находящихся на расстояниях от одного из концов струны (причем ). Равновесная форма при заданных и составляется из трех прямых отрезков, и работа

.

По формуле найдем

.

Задача 1.15. Определить средний квадрат флуктуации числа частиц для электронного газа при температурах, малых по сравнению с температурой вырождения.

Решение 1.15. При вычислении можно пользоваться выражением для граничной энергии для при абсолютном нуле. Простое вычисление дает

.

Задача 1.16. Определить средний квадрат Фурье–компонент (с малыми волновыми векторами: ) флуктуации плотности в ферми – газе при .

Решение 1.16. Подынтегральное выражение в формуле

отлично от нуля (и равно единице) лишь в точках, в которых , , т.е. в точках принадлежащих сфере радиуса и в то же время не принадлежащих сфере того же радиуса с центром, сдвинутым на . Вычисляя объем этой области при , получим

.

Задача 1.17. Найти первую флуктуационную поправку к теплопроводности в области применимости теории Ландау.

Решение 1.17. Произведем вычисления для симметричной фазы в отсутствии поля. В первом приближении эффективный гамильтониан дается выражением

.

Вычисление статистического интеграла по формуле

дает

(интегрирование производится по половине пространства, поскольку и не зависимы). Представляя собой малую поправку в потенциале , это выражение дает поправку также и к потенциалу . Двукратное дифференцирование этого выражения по дает поправку к теплоемкости

(1).

Потребовав малости этой поправки по сравнению со скачком теплоемкости

,

мы снова придем к условию применимости теории Ландау в виде

.

Обратим внимание на большой численный коэффициент в знаменателе выражения в правой части неравенства.