3.4. Решение задачи параметрического линейного программирования

Составим математическую модель задачи. Обозначим планируемый выпуск карамели через x1, помадные конфеты через x2, зефир через x3 и шоколадные изделия через x4.

Тогда математическая постановка задачи состоит в определении максимального значения функции:

F(X) = 16x1 + 10x2 + 13x3 + 26x4.

Таблица 3.2

Математическая постановка задачи в таблице

2	3	2	4
4	5	2	3
3	4	4	5

При следующих условиях-ограничениях:

2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4≤700

4x1 + 5x2 + 2x3 + 3x4≤440

3x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4≤400

Для построения первого опорного плана, систему неравенств приведем к системе уравнений, путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₇.

2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 700

4x1 + 5x2 + 2x3 + 3x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 440

3x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 400

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Таблица 3.3

Матрица коэффициентов

2	3	2	4	1	0	0
4	5	2	3	0	1	0
3	4	4	5	0	0	1

Базисные переменные - это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные переменные задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x5, x6, x7. Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,700,440,400)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Таблица3.4

Первая симплекс-таблица

Базис	B	A1 16	A2 10	A3 13	A4 26	A5	A6	A7
A5	700	2	3	2	4	1	0	0
A6	440	4	5	2	3	0	1	0
A7	400	3	4	4	5	0	0	1
	0	-16	-10	-13	-26	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего берем столбец, соответствующий переменной A4, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai4

и из них выберем наименьшее: min (700 : 4 , 440 : 3 , 400 : 5 ) = 80

Следовательно, 3-я строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Таблица 3.5

Симплекс-таблица (Определение новой свободной переменной)

Базис	B	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	Min
A5	700	2	3	2	4	1	0	0	175
A6	440	4	5	2	3	0	1	0	1462/3
A7	400	3	4	4	5	0	0	1	80
	0	-16	-10	-13	-26	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x7 в план 1 войдет переменная x4.

Строка, соответствующая переменной x4 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=5. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x4 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x4 и столбец x4. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана 4 числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

ТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (5), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. [6].

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы 3.6:

Таблица 3.6

Симплекс-таблица (Расчёт элементов)

B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
700-(400 • 4):5	2-(3 • 4):5	3-(4 • 4):5	2-(4 • 4):5	4-(5 • 4):5	1-(0 • 4):5	0-(0 • 4):5	0-(1 • 4):5
440-(400 • 3):5	4-(3 • 3):5	5-(4 • 3):5	2-(4 • 3):5	3-(5 • 3):5	0-(0 • 3):5	1-(0 • 3):5	0-(1 • 3):5
400 : 5	3 : 5	4 : 5	4 : 5	5 : 5	0 : 5	0 : 5	1 : 5
0-(400 • -26):5	-16-(3 • -26):5	-10-(4 • -26):5	-13-(4 • -26):5	-26-(5 • -26):5	0-(0 • -26):5	0-(0 • -26):5	0-(1 • -26):5

Получаем новую симплекс-таблицу:

Таблица 3.7

Новая симплекс-таблица (получен первый опорный план)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	380	-2/5	-1/5	-11/5	0	1	0	-4/5
x6	200	21/5	23/5	-2/5	0	0	1	-3/5
x4	80	3/5	4/5	4/5	1	0	0	1/5
F(X1)	2080	-2/5	104/5	74/5	0	0	0	51/5

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

Итерация №1. Проводится аналогичным образом.

В результате получаем новую симплекс-таблицу:

Таблица 3.8

Новая симплекс-таблица (получен второй опорный план)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	4164/11	0	3/11	-13/11	0	1	2/11	-10/11
x1	9010/11	1	12/11	-2/11	0	0	5/11	-3/11
x4	255/11	0	1/11	10/11	1	0	-3/11	4/11
F(X2)	21164/11	0	113/11	78/11	0	0	2/11	51/11

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Оптимальный план можно записать так:

x1 = 9010/11, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 255/11

F(X) = 16•9010/11 + 10•0 + 13•0 + 26•255/11 = 21164/11