Алгоритм уніфікації

1. Покласти k=0, W_k=W, _k=.

2. Якщо W_k – одноелементна множина, то припинити роботу: _k є нзу для W; інакше знайти множину D_k розбіжностей множини W_k.

3. Якщо існують такі елементи v_k та t_k в D_k, що v_k – змінна, що не входить в t_k, то перейти до кроку 4, інакше припинити роботу: W не уніфікується.

4. Покласти _k+1=_k{t_k/v_k}, W_k+1=W_k{t_k/v_k}. (Зауважимо, що W_k+1=W_k+1.)

5. Збільшити k на одиницю та перейти до кроку 2.

Теорема 6. Якщо W – скінченна непорожня множина виразів, що уніфікується, то алгоритм уніфікації завершує роботу на кроці 2 й підстановка _k є найбільш загальним уніфікатором множини W.

Знайдемо, наприклад, найбільш загальний уніфікатор для множини W={Q(x,a,f(y,g(b))),Q(b,y,u)}.

1. ₀=, та W₀=W. Оскільки W₀ не є одноелементною множиною, то ₀ не є найбільш загальним уніфікатором множини W.

2. Множина розбіжностей D₀={x,b}. В D₀ міститься змінна v₀=х, яка не має входжень в t₀=b.

3. Нехай ₁=₀{t₀/v₀}={b/x}={b/x},

W₁=W₀{t₀/v₀} = {Q(x,a,f(y,g(b))), Q(b,y,u)}{b/x} = {Q(b,a,f(y,g(b))),Q(b,y,u)}.

4. W₁ – не одноелементна множина; множина розбіжностей множини W₁ є D₁={a,y}.

5. З D₁ знайдемо v₁=y та t₁=a.

6. Обчислимо ₂ та W₂: ₂=₁{t₁/v₁}={b/x}{a/y}={b/x,a/y},

W₂=W₁{t₁/v₁}={Q(b,a,f(y,g(b))),Q(b,y,u)}{a/y}={Q(b,a,f(a,g(b))),Q(b,a,u)}

7. Бачимо, що W₂ – не одноелементна множина. Множиною розбіжностей для W₂ є D₂={f(a,g(b)),u}. З D₂ знаходимо v₂=u та t₂=f(a,g(b)).

8. Нехай ₃=₂{t₂/v₂}={b/x,a/y}{f(a,g(b))/u}={b/x,a/y,f(a,g(b))/u},

W₃=W₂{t₂/v₂}={Q(b,a,f(а,g(b))),Q(b,а,u)}{f(a,g(b))/u}={Q(b,a,f(a,g(b)))}.

9. W₃ – одноелементна множина, отже, ₃={b/x, a/y, f(a,g(b))/u} є нзу W.

Розглянемо ще один приклад. Визначимо, чи має нзу множина W={P(z,f(a)),P(c,f(z))}.

1. Покладемо ₀=, W₀=W.

2. W₀ – не одноелементна множина; множиною розбіжностей W₀ є D₀={z,c}. Отже, v ₀=z, t₀=c.

3. Нехай ₁=₀{t₀/v₀}={c/z}={c/z},

W₁=W₀{t₀/v₀}={P(z,f(a)),P(c,f(z))}{c/z}={P(c,f(a)),P(c,f(c))}.

4. W₁ – не одноелементна множина; множиною розбіжностей для W₁ є D₁={a,c}.

5. Множина D₁ не містить змінних, отже виконання алгоритму уніфікації завершується, й ми робимо висновок, що W не уніфікується.

Правило резолюції для формул логіки першого порядку

Нехай дві або більше літер диз’юнкту С мають нзу . Склейкою диз’юнкту C називається диз’юнкт С. Якщо С – однолітерний диз’юнкт, то склейка називається одиничною.

Нехай, наприклад, С = Q(x,a) P(f(y),z)  Q(f(y),y). Перша та третя літери мають нзу ={f(a)/x, a/y}. Диз’юнкт C = P(f(а),z)  Q(f(а),а) – склейка C.

Нехай С₁, С₂ – диз’юнкти, що не мають жодної спільної змінної, L₁, L₂ – літери у відповідно С₁ та С₂. Якщо L₁ та L₂ мають нзу , то диз’юнкт (C₁ \ {L₁})(C₂ \ {L₂}) називається бінарною резольвентою С₁ та С₂. Літери L₁ та L₂ називаються такими, що відсікаються. С₁ та С₂ називаються диз’юнктами-посилками.

Нехай, наприклад, C₁ = Q(f(x),y)P(z,b), C₂ = R(f(x))Q(w,x). Оскільки x має входження у C₁ та C₂, замінимо змінну х у C₂ на u. Нехай C₂=R(f(u))Q(w,u). Виберемо L₁=Q(f(x),y) та L₂=Q(w,u). Оскільки L₂=Q(w,u), то L₁ та L₂ мають нзу ={f(х)/w, y/u}. Отже,

(C₁ \ {L₁})  (C₂ \ {L₂}) = ({Q(f(x),y),P(z,b)}\{Q(f(x),y)})({R(f(y)), Q(f(x),y)}\{Q(f(x),y)})={P(z,b),R(f(y))} = P(z,b)R(f(y)).

Таким чином, P(z,b)R(f(y)) – бінарна резольвента диз’юнктів C₁ та C₂.

Резольвентою диз’юнктів-посилок С₁ та С₂ називається одна з таких резольвент:

- бінарна резольвента С₁ та С₂,

- бінарна резольвента С₁ та склейки С₂,

- бінарна резольвента С₂ та склейки С₁,

- бінарна резольвента склейки С₁ та склейки С₂.

Теорема 7. Множина диз’юнктів S суперечна тоді й тільки тоді, коли існує вивід порожнього диз’юнкту з S за допомогою правила резолюції.

Розглянемо, наприклад, таку сукупність формул:

F₁: (x)(P(x)(Q(x)T(x))), F₂: (x)(P(x)D(x)), F: (x)(D(x)T(x)).

Покажемо, що F є логічним наслідком F₁ та F₂. Перетворимо F₁, F₂ та F у стандартну форму. Маємо такі диз’юнкти:

(1) P(x)Q(x),

(2) P(x)T(x),

(3) P(a)

(4) D(a)

(5) D(х)T(x).

Виведення  за допомогою правила резолюції:

(6) Т(а) резольвента (3) та (2),

(7) Т(а) резольвента (5) та (4),

(8)  резольвента (7) та (6).

Отже, формула F є логічним наслідком формул F₁ та F₂.