Підстановки та уніфікатори

Під виразом будемо розуміти терм, множину термів, множину атомів, літеру, диз’юнкт, множину диз’юнктів. Вираз, що не містить змінних, будемо називати основним виразом. Підвиразом виразу Е назвемо вираз, що зустрічається в Е.

Підстановкою називається скінченна множина виду {t₁/v₁, …,t_n/v_n}, де v_i – змінна, t_i – терм, відмінний від v_i, усі v_i різні (i=1, … ,n). Елементи множини {t₁/v₁, …,t_n/v_n} називаються компонентами підстановки. Якщо t₁,…,t_n – основні терми (тобто не містять змінних), підстановка називається основною. Підстановка, що не містить елементів, називається порожньою й позначається .

Наприклад, множини {a/x, g(b)/y, f(x,y)/z}, {f(y,y)/x, z/y, f(x,z)/z} є підстановками, а {g(x)/u, b/y, z/u}, {x/x, g(a)/y, x/z} – ні.

Нехай ={t₁/v₁,…,t_n/v_n} – підстановка, Е – вираз. Прикладом Е називається вираз (позначається Е), що утворюється з Е шляхом заміни одночасно усіх входжень змінної v_i (1  i  n) в Е на терм t_i.

Нехай, наприклад, ={f(y)/x, a/y, u/z}, Е=Q(g(y),z,x). Тоді Е=Q(g(a),u,f(y)).

Нехай  = {t₁/v₁, … ,t_n/v_n},  = {u₁/y₁, … ,u_m/y_m} – підстановки. Композицією  та  називається підстановка (позначається  або ), що утворюється із сукупності компонентів t₁/x₁,…,t_n/x_n, u₁/y₁,…,u_m/y_m шляхом вилучення усіх тих компонентів t_j/x_j, для яких t_j=x_j, та усіх компонентів u_i/y_i, таких що y_i{x₁,…,x_n}.

Нехай, наприклад,  = {t₁/x₁,t₂/x₂}={g(z)/x, w/z},  = {u₁/y₁,u₂/y₂,u₃/y₃} = {f(b)/x, a/z, z/w}. Тоді {t₁/x₁,t₂/x₂,u₁/y₁,u₂/y₂,u₃/y₃}={g(a)/x, z/z, f(b)/x, a/z, z/w}. Оскільки t₂=x₂, то маємо вилучити t₂/x₂ (тобто z/z) з множини. До того ж треба вилучити й u₁/y₁ та u₂/y₂ (тобто f(b)/x й a/z), бо y₁ й y₂ містяться серед {х₁, х₂}. Отже, маємо ={g(a)/x, z/w}.

Зазначимо, що сукупність підстановок з операцією композиції утворює напівгрупу з одиницею (), тобто () = () й == для усіх , , .

Уніфікатором множини виразів {E₁,…,E_k} називається така підстановка , що E₁=E₂=…=E_k. Множина {E₁,…,E_k} називається такою, що уніфікується, якщо для неї існує уніфікатор.

Нехай, наприклад, множина виразів Т = {Q(g(a),x), Q(y,f(a,b))}. Підстановка ={g(a)/y,f(a,b)/x} є уніфікатором T, оскільки Q(g(a),x)=Q(g(a),f(a,b))=Q(y,f(a,b)).

Найбільш загальним уніфікатором (нзу) множини виразів Т={E₁,…,E_k} називається такий уніфікатор  цієї множини, що для будь-якого уніфікатора  множини Т існує така підстановка , що =.

Множиною розбіжностей непустої множини виразів W називається множина, що утворюється виявленням першої (зліва) позиції, на якій не для усіх виразів з W стоїть один і той самий символ, а потім виписуванням з кожного виразу у W підвиразів, які починаються з символу, що займає цю позицію.

Нехай, наприклад, W = {Q(x,a), Q(f(y),u)}. Тоді першою позицією, у якій не усі вирази з W мають однакові символи, є третя, оскільки усі вирази мають однакові перші два символи Q. Отже, множина розбіжностей складається з підвиразів, які починаються з третьої позиції, тобто це множина {x,f(y)}.

Побудова найбільш загального уніфікатора множини виразів здійснюється за допомогою алгоритму уніфікації, який наводиться нижче.