Пренексна нормальна форма формул логіки першого порядку

Формула F логіки першого порядку подана (або знаходиться) у пренексній нормальній формі, якщо F має вигляд (Q₁х₁)…(Q_nх_n)M, де (Q_ix_i) є (x_i) або (x_i) (i=1,…,n), а M є формулою, у якій немає кванторів. (Q₁x₁)…(Q_nx_n) називається префіксом, M – матрицею формули F.

Наприклад, формула (х)(y)(z)(Q(х,y)R(z)) знаходиться у пренексній нормальній формі, а формула (х)(P(х)(y)(R(y)Q(х,y))) – ні.

Уведемо позначення F[х], щоб відзначити, що формула F має вільну змінну x. Нехай G означає формулу, яка не має змінної х, Q означає  або . Наступні пари формул еквівалентні:

(Qх)F[х]G=(Qх)(F[х]G); (Qх)F[х]G=(Qх)(F[х]G); (1)

((x)F[x])=(x)(F[x]); ((x)F[х])=(x)(F[х]). (2)

Нехай F[х] та H[х] – формули, які мають змінну х. Виконуються такі співвідношення:

(x)F[x](x)H[x]=(x)(F[х]H[х]); (х)F[х](х)H[х]=(х)(F[х]H[х]).

Зауважимо, що

(x)F[x](x)H[x]  (x)(F[х]H[х]) й

(х)F[х](х)H[х]  (х)(F[х]H[х]).

Нехай z – змінна, що не входить у F[x] та H[х]. Тоді

(x)F[x](x)H[x] = (x)F[x](z)H[z] й

(х)F[х](х)H[х] = (х)F[х](z)H[z],

отже, використавши співвідношення (1), маємо

(x)F[x](x)H[x] = (x)(z)(F[х]H[z]),

(х)F[х](х)H[х] = (х)(z)(F[х]H[z]).

У загальному випадку маємо

(Q₁x)F[x](Q₂x)H[x] = (Q₁x)(Q₂z)(F[х]H[z]),

(Q₁х)F[х](Q₂х)H[х] = (Q₁х)(Q₂z)(F[х]H[z]).

Тут Q₁, Q₂ – це  або , а z не входить в F[х].

Задану формулу першого порядку можна завжди перетворити у пренексну нормальну форму за допомогою процедури, яка наведена нижче.

Перетворення формули у пренексну нормальну форму

1. Використовуючи закони

F₁  F₂ = (F₁F₂)  (F₂F₁),

F₁ F₂ = F₁  F₂,

вилучити логічні зв’язки  та .

2. За допомогою законів

(F) = F,

(F₁  F₂) = F₁  F₂, (F₁  F₂) = F₁  F₂,

((x)F[x])=(x)(F[x]); ((x)F[х])=(x)(F[х])

розмістити знаки заперечення безпосередньо перед атомами.

3. Здійснити перейменування зв’язаних змінних, якщо це необхідно.

4. Використовуючи закони

(Qх)F[х]G=(Qх)(F[х]G), (Qх)F[х]G=(Qх)(F[х]G),

(x)F[x](x)H[x]=(x)(F[х]H[х]),

(х)F[х](х)H[х]=(х)(F[х]H[х]),

(Q₁x)F[x](Q₂x)H[x] = (Q₁x)(Q₂z)(F[х]H[z]),

(Q₁х)F[х](Q₂х)H[х] = (Q₁х)(Q₂z)(F[х]H[z]),

винести квантори на початок формули.

Побудову пренексної нормальної форми завершено.

Приведемо, наприклад, формулу ((x)F₁(x)(x)F₂(x)) до пренексної нормальної форми: ((x)F₁(x)(x)F₂(x)) = ((x)F₁(x)(x)F₂(x)) = (x)F₁(x)(x)F₂(x) = (x)F₁(x)(x)F₂(x) = =(x)F₁(x)(z)F₂(z) = (x)(z)(F₁(x)F₂(z)).

Сколемівська стандартна форма формули першого порядку

Нехай формула F знаходиться у пренексній нормальній формі (Q₁x₁)…(Q_nx_n)M, де М є кон’юнктивна нормальна форма. Нехай Q_i є квантор існування у префіксі (Q₁x₁)…(Q_nx_n), 1in. Якщо ліворуч від Q_i у префіксі немає жодного квантора загальності, виберемо нову константу с, що не входить у М, замінимо усі входження змінної x_i у М на с та викреслимо (Q_ix_i) з префікса. Якщо Q_s1,…,Q_sm – список усіх кванторів загальності, що знаходяться у префіксі ліворуч від Q_i, 1s₁s₂…s_mi, виберемо новий m-арний функціональний символ f, що відрізняється від функціональних символів формули М, та замінимо усі x_i у М на терм f(x_s1,x_s2,…,x_sm), а (Q_ix_i) викреслимо з префікса. Такі дії виконаємо з усіма кванторами існування у префіксі. Формула, яка буде побудована в результаті, є сколемівська стандартна форма (або коротко стандартна форма) формули F. Константи та функції, що використані для заміни змінних, зв’язаних квантором існування, називаються сколемівськими функціями.

Побудуємо, наприклад, стандартну форму формули

(x₁)(x₂)(x₃)(x₄)(x₅)(x₆)(x₇)М(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇).

Оскільки у даній формулі ліворуч від (x₁) та (x₂) немає кванторів загальності, замінимо змінні x₁ та x₂ новими константами а та b відповідно, а (x₁) та (x₂) вилучимо з префікса. Одержимо формулу

(x₃)(x₄)(x₅)(x₆)(x₇)M(a,b,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇).

Ліворуч від (x₅) міститься два квантори загальності, (x₃) та (x₄), а ліворуч від (x₇) – три ((x₃), (x₄), (x₆)), отже замінимо x₅ термом f(x₃,x₄), а x₇ – термом h(x₃,x₄,x₆). У результаті маємо стандартну форму даної формули: (x₃)(x₄)(x₆)M(a,b,x₃,x₄,f(x₃,x₄),x₆,h(x₃,x₄,x₆)).

Оскільки формула F, що знаходиться у стандартній формі, являє собою кнф, якій передує префікс (можливо, порожній), що містить лише квантори загальності, будемо вважати F множиною диз’юнктів, де кожна змінна керована квантором загальності. Надалі будемо користуватися властивістю стандартної форми, яку сформулюємо у вигляді такої теореми.

Теорема 5. Нехай S – множина диз’юнктів, які представляють стандартну форму формули F. Тоді F суперечна тоді й тільки тоді, коли S суперечна.

Зауважимо, що несуперечна формула F та її стандартна форма S не завжди еквівалентні. Нехай, наприклад, F=(x)P(x). Стандартна форма формули F є S=P(a). Розглянемо таку інтерпретацію I з областю D={1,2}: константі a поставимо у відповідність елемент 1 предметної області й покладемо P(1)=0, Р(2)=1. Тоді F істинна при I, але S хибна при I, отже, FS.

Зазначимо також, що формула може мати більше однієї стандартної форми. Звичайно при побудові стандартної форми вибирають якнайпростіші сколемівські функції. Якщо маємо формулу виду F=F₁…F_n, то можемо окремо побудувати множини диз’юнктів S_i, де S_i є стандартною формою формули F_i, i=1,…,n. Нехай S = S₁…S_n. Неважко показати, що F суперечна тоді й тільки тоді, коли S суперечна.