Інтерпретації формул логіки першого порядку

Інтерпретація формули F логіки першого порядку – це упорядкована четвірка виду <D,K,V,P>, де D – непорожня множина (предметна область, або область інтерпретації), а K,V,P – множини, що визначаються таким чином. Якщо формула F не містить констант, то К=, інакше побудуємо множину констант, що зустрічаються у F (позначимо її С), побудуємо відображення k: CD й покладемо К={k}. Якщо формула F не містить функціональних символів, то V=, інакше для кожного n-арного функціонального символу fⁿ, що зустрічається у F, побудуємо відображення fⁿ: DⁿD, й V є множина відображень, побудованих за усіма функціональними символами, що зустрічаються у F. Для кожного n-арного предикатного символу Pⁿ, що зустрічається у F, побудуємо відображення виду Pⁿ: Dⁿ{0,1} (тобто n-арний предикат на множині D), й Р – множина предикатів, побудованих за усіма предикатними символами, що зустрічаються у F.

Іноді, щоб зосередити увагу на області D, будемо говорити про інтерпретацію формули на D.

Для кожної інтерпретації формули на області D формула може набути істинносне значення 0 або 1 згідно з такими правилами.

1. Якщо значення формул F й G відомі, то значення формул F, FG, FG, FG, FG обчислюються за таблицями істинності.

2. Формула (х)(F) набуває значення 1, якщо F набуває значення 1 для кожного x з D (тобто при заміні кожного входження змінної х у формулу F елементом множини D); у протилежному випадку вона набуває значення 0.

3. Формула (х)(F) набуває значення 1, якщо F набуває значення 1 хоча б для одного х із D; інакше вона набуває значення 0.

Зауважимо, що формула з вільними змінними не може набути істинносного значення при заданій інтерпретації. Надалі будемо вважати, що формула або не має вільних змінних, або вільні змінні розглядаються як константи.

Розглянемо, наприклад, формулу F:

(х)(y)(P(х)(Q(y)R(f(х),c,y))).

У формулі F є одна константа (с), один унарний функціональний символ (f), два унарних предикатних символа (P та Q) й один тернарний предикатний символ (R). Визначимо інтерпретацію I таким чином. Покладемо D={1,2}; константі c поставимо у відповідність елемент 1 предметної області, функціональному символу f поставимо у відповідність відображення (збережемо для нього назву f), яке визначається так: f(1)=2, f(2)=1; предикатним символам P, Q, R поставимо у відповідність відображення (з тими ж назвами), поклавши P(1)=0, P(2)=1, Q(1)=1, Q(2)=0, R(1,1,1)=0, R(1,1,2)=0, R(1,2,1)=0, R(1,2,2)=0, R(2,1,1)=1, R(2,1,2)=1, R(2,2,1)=1, R(2,2,2)=1.

Якщо х=1, y=1, то P(x)Q(y)R(f(x),c,y)=P(1)Q(1)R(f(1),1,1)=011=1.

Якщо x=1, y=2, то P(x)Q(y)R(f(x),c,y)=P(1)Q(2)R(f(1),1,2)=001=1.

Якщо х=2, y=1, то P(x)Q(y)R(f(x),c,y)=P(2)Q(1)R(f(2),1,1)=110=0.

Якщо x=2, y=2, то P(x)Q(y)R(f(x),c,y)=P(2)Q(2)R(f(2),1,2)=100=0.

Бачимо, що при х=2 формула F не набуває значення 1 при жодному значенні у, отже F хибна при інтерпретації I на області {1,2}.

Формула F називається несуперечною, якщо існує така інтерпретація I, при якій F має значення 1. Якщо F істинна при інтерпретації I, то I називають моделлю формули F й говорять, що I задовольняє F.

Покажемо, наприклад, що формула F=P(a)((x)P(x)) несуперечна. Визначимо інтерпретацію I таким чином. Покладемо D={1,2}; константі а поставимо у відповідність елемент 1 предметної області; предикатному символу P поставимо у відповідність відображення (з тією ж назвою), поклавши Р(1)=0, Р(2)=1. Тоді (x)P(x) істинна при даній інтерпретації. Отже, маємо: F=Р(1)((x)P(x)) = 01=00=1. Оскільки існує інтерпретація, при якій формула F набуває значення 1, то F несуперечна. Побудована інтерпретація є моделлю формули F.

Формула F називається суперечною, якщо не існує жодної інтерпретації, яка задовольняє F.

Формула F називається тотожно істинною, якщо не існує жодної інтерпретації, яка задовольняє формулу F.

Покажемо, наприклад, що формула F = (х)P(х)(y)P(y) суперечна. Нехай I – деяка інтерпретація формули F, D – область інтерпретації. Якщо P(х) набуває значення 1 для кожного x з D, то ((y)P(y)) хибна при інтерпретації I, отже, й F хибна при I. Якщо хоча б для одного у із D P(y) набуває значення 0, то формула (х)P(х) хибна при I, отже, й F хибна при I.

Наведемо приклад тотожно істинної формули. Нехай F = (х)P(х)((y)P(y)). Нехай I – деяка інтерпретація формули F, D – область інтерпретації. Якщо P(х) набуває значення 1 для кожного x з D, то (х)P(х) істинна при інтерпретації I, отже, й F істинна при I. Якщо хоча б для одного у із D P(y) набуває значення 0, то формула ((y)P(y)) істинна при I, отже, й F істинна при I.

Формула F є логічним наслідком формул F₁, F₂,… F_n, якщо F істинна при кожній інтерпретації I, яка задовольняє F₁F₂…F_n.

Розглянемо, наприклад, формули

F₁: (х)(P(х)Q(х)).

F₂: P(a).

Покажемо, що формула Q(a) є логічним наслідком формул F₁ та F₂. Розглянемо довільну інтерпретацію I, яка задовольняє (х)(P(х)Q(х))P(a). При цій інтерпретації P(a) приймає значення 1. Припустимо, що I не задовольняє Q(a), тобто Q(a) не істинна при I. P(a)Q(a)=0, а тоді (х)(P(х)Q(х)) хибна при I, що суперечить припущенню. Отже, Q(a) має бути істинною при кожній інтерпретації, яка задовольняє (х)(P(х)Q(х))P(a). Це означає, що Q(a) є логічним наслідком формул F₁ та F₂.

Теорема 1 виконується й для формул логіки першого порядку. Зауважимо також, що формулу логіки першого порядку, у якій немає змінних та кванторів, можна розглядати як формулу логіки висловлень.