Приклади застосування методів перевірки тавтологічності та суперечності формул логіки висловлень

Приклади застосування описаних методів для розв’язання задач докладно описано у електронному навчальному виданні [1], стор.37-63.

Мова логіки першого порядку

Будемо використовувати такі чотири типи символів:

1) символи індивідних констант: a, a₁, a₂,…, b, b₁, b₂,…, c, c₁, c₂,…, а також імена об’єктів (наприклад, Київ, 5, Марія і т.ін.);

2) символи предметних змінних: x, x₁, x₂,…, y, y₁, y₂,…z, z₁, z₂,…;

3) функціональні символи: f, f₁, f₂,…, g, g₁, g₂,…, h, h₁, h₂,…, а також звичайні слова, написані малими літерами (наприклад, плюс, факторіал), або спеціальні символи операцій (+, ); з кожним функціональним символом асоціюється ціле додатне число – арність функціонального символу; для позначення арності символів використовуються верхні індекси (наприклад, fⁿ – n-арний функціональний символ);

4) предикатні символи: P, P₁, P₂,…, Q, Q₁, Q₂,…, R, R₁, R₂,… або звичайні слова, написані великими літерами (наприклад, МЕНШЕ, ПРАЦЮЄ), а також символи відношень (наприклад, , >, =).

Поняття терму визначається таким чином:

i) константа є термом;

ii) змінна є термом;

iii) якщо fⁿ – n-арний функціональний символ й t₁,…,t_n – терми, то fⁿ(t₁,…,t_n) – терм;

iv) інших термів немає.

Якщо P – n-арний предикатний символ й t₁,…,t_n – терми, то P(t₁,…,t_n) – атом, або елементарна формула.

Уведемо символи:  – квантор загальності,  – квантор існування. Якщо x – змінна, то (x) читається так: “для усіх x”, або “для будь-якого x”, або “для кожного x”, а (x) читається так: “існує x”, або “для деякого x”, або “хоча б для одного x”. Вирази (x), (x) називаються кванторними комплексами.

Запишемо, наприклад, за допомогою предикатів та кванторів такі твердження:

1) Кожне натуральне число є цілим числом.

2) Для кожного числа x існує таке число y, що yx.

Позначимо “x є натуральним числом” через N(x), “x є ціле число” через Z(x), “y більше x” через БІЛЬШЕ(y,x). Тоді наведені вище твердження можна записати такими формулами:

1) (x)(N(x) Z(x));

2) (x) (y) (БІЛЬШЕ(y,x)).

Поняття формули логіки першого порядку визначається таким чином:

• кожна елементарна формула є формулою;

• якщо А – формула, то (А) – формула;

– якщо А, В – формули, x – змінна, то (А), (А)(В), (А)(В), (А)(В), (А)(В), (х)(А), (х)(А) – формули;

– інших формул немає.

У виразі (х)(А) ((х)(А)) формула А називається областю дії кванторного комплексу (х) (відповідно (х)), а змінна х з А – керованою квантором  (). Формули виду P(t₁,…,t_n), P(t₁,…,t_n), де P(t₁,…,t_n) – елементарна формула, будемо називати літерами.

Входження змінної х у формулу називається зв’язаним, якщо воно збігається із входженням у кванторний комплекс ((x) чи (x)) або знаходиться у області дії такого комплексу. Входження змінної у формулу є вільним, якщо воно не зв’язане.

Наприклад, обидва входження змінної х у формулу (x)(Р(х,z)  Q(w)) є зв’язаними, а входження змінних z та w є вільними.

Змінна називається вільною у формулі, якщо принаймні одне її входження в цю формулу вільне. Змінна зв’язана у формулі, якщо хоча б одне її входження в цю формулу зв’язане.

Наприклад, у формулі (x)(Q(x,u,z)) змінна x зв’язана, оскільки обидва її входження зв’язані. Змінні u та z вільні, тому що усі входження u та z у формулу вільні. У формулі (z)(R(z,x))(x)(P(x)) змінна x є й зв’язаною, й вільною, адже перше входження змінної х у дану формулу є вільним, а друге та третє є зв’язаними.

Надалі будемо вважати, що у формулі (х)(F) ((x)(F)) змінна х вільна в F. Умовимося, що квантори мають менший ранг, ніж заперечення (). Отже, (х)F₁   F₂ означає (((х)(F₁))  (F₂)).

Запишемо, наприклад, за допомогою формули таке міркування. “Кожний студент прагне здобути знання. Петро – студент. Отже, Петро прагне здобути знання.” Спочатку уведемо предикатні символи. Позначимо “х є студент” через СТУДЕНТ(х), а “х прагне здобути знання” через ПРАГНЕ_ЗНАНЬ(х). Тоді твердження “Кожний студент прагне здобути знання” можна подати формулою:

(х)(СТУДЕНТ(х)ПРАГНЕ_ЗНАНЬ(х)),

твердження “Петро – студент” – формулою:

СТУДЕНТ(Петро),

а твердження “Петро прагне здобути знання” – формулою:

ПРАГНЕ_ЗНАНЬ(Петро).

Отже, міркування можна записати такою формулою:

(х)(СТУДЕНТ(х)ПРАГНЕ_ЗНАНЬ(х))СТУДЕНТ(Петро)

ПРАГНЕ_ЗНАНЬ(Петро).