Метод резолюцій

Правило резолюції. Нехай С₁, С₂ – диз’юнкти й С₁=D₁L, С₂=D₂L, де D₁, D₂ – диз’юнкції літер, можливо, порожні, L, L – контрарні літери. Будемо говорити, що диз’юнкт C=D₁D₂ утворюється за допомогою правила резолюції з диз’юнктів С₁ та С₂. Диз’юнкт С називається резольвентою диз’юнктів С₁ та С₂.

Теорема 2. Нехай С₁, С₂ – диз’юнкти, С – резольвента С₁ та С₂. Тоді С є логічним наслідком С₁ та С₂.

Будемо говорити, що порожній диз’юнкт c виводиться з множини диз’юнктів S (або існує вивід диз’юнкту c з множини диз’юнктів S) за допомогою правила резолюції, якщо існує така скінченна послідовність диз’юнктів С₁,…,С_k, що С_k= c й кожен диз’юнкт С_i даної послідовності (1ik) є або диз’юнктом з множини S, або резольвентою таких диз’юнктів C_n, C_m даної послідовності, що n<і та m<i. Послідовність С₁,…,С_k, що задовольняє наведені умови, назвемо виводом порожнього диз’юнкту з множини диз’юнктів S за допомогою правила резолюції.

За допомогою правила резолюції можна доводити суперечність формул логіки висловлень. Основою для цього є така теорема.

Теорема 3 (про повноту). Множина диз’юнктів S суперечна тоді й тільки тоді, коли існує вивід порожнього диз’юнкту  з S за допомогою правила резолюції.

Метод двійкових діаграм рішень

Нехай F, F₀, F₁ – формули. Розгалуженням називається вираз виду FF₁,F₀, який визначається так: FF₁,F₀=(FF₁)(FF₀). Формула F називається перевірним виразом,  – оператором розгалуження, F₁,F₀ – гілками розгалуження. Будемо називати розгалуження формулою.

З наведеного означення випливає, що логічні зв’язки , , , ,  можуть бути виражені через оператор розгалуження й логічні константи 0 та 1 таким чином, що: а) перевірні вирази є атомами, б) атоми зустрічаються лише у перевірних виразах. Дійсно, маємо: Р=(Р0,1); PQ=P(Q1,0),0; РQ=P(Q1,0),(Q0,1); PQ=P1,(Q1,0); PQ=P(Q1,0),1. Зазначимо також, що кожна формула F може бути записана у вигляді F1,0.

Формула F є у нормальній формі розгалуження (нфр), якщо F побудована лише з атомів, операторів розгалуження й логічних констант 0 та 1, перевірними виразами є атоми, атоми зустрічаються лише як перевірні вирази.

Позначимо F[0/P] (F[1/P]) формулу, що є результатом заміни у формулі F атома Р на 0 (1). Тоді формулу F, що містить атом Р, можна подати у вигляді

F=РF[1/P],F[0/P].

Користуючись цим співвідношенням (застосовуючи його спочатку до формули F, а потім до гілок розгалуження й т.д.), можна кожну формулу логіки висловлень привести до нфр.

Двійковою діаграмою рішень (ДДР) називається ациклічний кореневий позначений орграф, у якому є одна чи дві кінцеві вершини (тобто вершини, напівстепені виходу яких дорівнюють нулю), що мають (різні) позначки 0 або 1, напівстепені виходу некінцевих вершин дорівнюють двом, на множині некінцевих вершин визначено функції var, low, high такі, що коли u – некінцева вершина, то її позначкою є var(u), а (u, low(u)) та (u, high(u)) – дуги, інцидентні вершині u. Областю значень функції var є деяка множина позначок, область значень функцій high, low – множина вершин ДДР.

Двійкова діаграма рішень називається упорядкованою (УДДР), якщо для усіх її шляхів між кореневою та кінцевою вершиною зберігається один і той самий лінійний порядок позначок некінцевих вершин. Двійкова діаграма рішень (упорядкована або ні) називається приведеною (П(У)ДДР), якщо для усіх її некінцевих вершин u, v виконується:

(var(u)=var(v))(low(u)=low(v))(high(u)=high(v))u=v й low(u)high(u).

Визначимо рекурсивну процедуру побудови формули F^u, що визначається вершиною u деякої ПУДДР. Кінцева вершина визначає логічну константу, некінцева вершина u з позначкою Р визначає розгалуження, перевірним виразом якого є Р, а суміжні вершини визначають гілки розгалуження, тобто F⁰=0, F¹=1, F^u=var(u)F^high(u),F^low(u).

За формулою у нфр очевидним чином можна побудувати орграф, який після злиття кінцевих вершин з однаковими позначками перетворюється на ДДР.

Теорема 4. Для будь-якої формули F(A₁,…,A_n) логіки висловлень існує єдина ПУДДР з лінійним упорядкуванням позначок A₁…A_n, така що для кореневої вершини u F^u=F.

Н

Рис. 2

аведені результати забезпечують такий спосіб перевірки тавтологічності (суперечності) формули логіки висловлень. Побудуємо для даної формули F її нормальну форму розгалуження, вибравши певний лінійний порядок атомів (це можна зробити для будь-якої формули логіки висловлень). Потім за нфр побудуємо УДДР, при потребі здійснивши її приведення. Якщо результатом є діаграма, що складається з однієї кінцевої вершини, яка має позначку 1 (0), то формула F є тавтологією (суперечністю). Якщо побудована ПУДДР має некінцеві вершини, то формула F не є ні тавтологією, ні суперечністю, але має моделі.