Метод перевірки суперечності й тавтологічності формул шляхом зведення до диз’юнктивної та кон’юнктивної нормальної форми

Тавтологічність формули можна перевірити шляхом зведення її до кнф. Наприклад, (PQ)  Q  P = (PQ) Q  P = ((PQ) Q) P = (PQ)QP = (PQ)  Q P = (P Q P) (Q Q P) = 1 1 = 1. Отже, формула (PQ)  Q  P є тавтологією.

Суперечність формули можна довести шляхом перетворення її у днф. Наприклад, (PQ)QP = (PQ)QP = (PQP)(QQP) = 00 = 0. Отже, формула є суперечною.

Метод Девіса й Патнема

Метод Девіса й Патнема дає можливість перевіряти суперечність множини диз’юнктів. Він базується на чотирьох правилах.

1. Правило тавтології. З множини диз’юнктів S вилучити усі тавтологічні диз’юнкти, якщо такі містяться у S. Позначимо множину диз’юнктів, що утворюється у результаті такого вилучення, через S. Якщо S=, то дати відповідь «S несуперечна» та завершити роботу, інакше перевірити суперечність S¢.

Зазначимо, що множина S суперечна тоді й тільки тоді, коли S¢ суперечна. Отже, однократне застосування правила тавтології до множини диз’юнктів S, що містить тавтологічні диз’юнкти, або дає відповідь на питання про суперечність S (якщо S=, то S – несуперечна), або зводить задачу про суперечність S до задачі про суперечність множини диз’юнктів S¢, яка містить менше диз’юнктів, ніж S.

2. Правило однолітерних диз’юнктів. Якщо в S існує одиничний диз’юнкт {L}, то спочатку побудувати множину S, вилучаючи з S ті диз’юнкти, що містять літеру L. Якщо S=, то дати відповідь «множина S несуперечна» й завершити роботу. Якщо S, то побудувати множину S, вилучаючи з диз’юнктів множини S усі входження літери L. Якщо S² містить порожній диз’юнкт, то дати відповідь «множина S суперечна» та завершити роботу, інакше перевірити суперечність S.

Зазначимо, що множина S суперечна тоді й тільки тоді, коли S суперечна. Таким чином, однократне застосування правила однолітерних диз’юнктів до множини диз’юнктів, що містить одиничний диз’юнкт, або дає відповідь на питання про суперечність S (якщо S=, то S – несуперечна, якщо S², то S суперечна), або зводить задачу про суперечність S до задачі про суперечність множини диз’юнктів S², яка містить менше диз’юнктів, ніж S.

3. Правило чистих літер. Назвемо літеру L, що входить у деякий диз’юнкт з S, чистою в S, якщо літера L не входить в жоден диз’юнкт з S. Якщо S містить літеру L, чисту в S, вилучити з S усі диз’юнкти, що містять L. Позначимо через S множину диз’юнктів, що залишилися. Якщо S=, то дати відповідь «S несуперечна» й завершити роботу, інакше перевірити суперечність S¢.

Зазначимо, що S суперечна тоді й тільки тоді, коли S¢ суперечна. Отже, однократне застосування правила чистих літер до множини диз’юнктів S, що містить чисту літеру, або дає відповідь на питання про суперечність S (якщо S=, то S несуперечна), або зводить задачу про суперечність S до задачі про суперечність множини диз’юнктів S¢, яка містить менше диз’юнктів, ніж S.

4. Правило розщеплення. Вибрати літеру L, що має входження у який-небудь диз’юнкт з S. Подати множину S у вигляді (A₁ L)…(A_mL)(B₁L)…(B_nL)R, де m,nN⁺, A_i (i{1,…,m}), B_j (j  {1,…,n}), R не містять літер L та L. Побудувати множини S₁ = A₁…A_mR та S₂ = B₁…B_nR. Перевірити суперечність S₁ та S₂.

Зазначимо, що S суперечна тоді й тільки тоді, коли S₁ й S₂ суперечні. Застосування правила розщеплення дає можливість звести задачу про суперечність множини диз’юнктів S до сукупності двох задач (про суперечність S₁ та про суперечність S₂), кожна з яких простіша, ніж задача про суперечність S.

Метод Девіса й Патнема перевірки суперечності множини диз’юнктів S полягає у рекурсивному застосуванні до S правил 1-4 у зазначеному порядку.