- •Мета та задачі домашньої контрольної роботи
- •Короткі теоретичні відомості та приклади розв’язання задач Логічне слідування
- •Методи перевірки тотожної хибності й тотожної істинності формул логіки висловлень
- •Метод перевірки суперечності й тавтологічності формул шляхом зведення до диз’юнктивної та кон’юнктивної нормальної форми
- •Метод Девіса й Патнема
- •Метод резолюцій
- •Метод двійкових діаграм рішень
- •Приклади застосування методів перевірки тавтологічності та суперечності формул логіки висловлень
- •Мова логіки першого порядку
- •Інтерпретації формул логіки першого порядку
- •Пренексна нормальна форма формул логіки першого порядку
- •Сколемівська стандартна форма формули першого порядку
- •Підстановки та уніфікатори
- •Алгоритм уніфікації
- •Правило резолюції для формул логіки першого порядку
- •Вимоги до оформлення домашньої контрольної роботи
- •Графік виконання домашньої контрольної роботи
- •Порядок виконання домашньої контрольної роботи
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
"КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ"
Методичні вказівки
до виконання домашньої контрольної роботи
з кредитного модуля
«Математична логіка та теорія алгоритмів»
для студентів спеціальності 6.040301 Прикладна математика
Рекомендовано Вченою радою Фізико-технічного інституту
Київ
НТУУ «КПІ»
2013
Методичні вказівки до виконання домашньої контрольної роботи з кредитного модуля «Математична логіка та теорія алгоритмів» / Уклад. М.К.Мороховець. – К.: НТУУ «КПІ», 2013. – 30 с., 4 джерела.
Гриф надано Вченою радою Фізико-технічного інституту НТУУ «КПІ»
(Протокол № 3 від 27 березня 2013 р.)
Навчальне видання
Методичні вказівки
до виконання домашньої контрольної роботи
з кредитного модуля
«Математична логіка та теорія алгоритмів»
для студентів спеціальності 6.040301 Прикладна математика
Укладач Марина Костянтинівна Мороховець, канд.фіз.-мат.наук
Відповідальний редактор М.М. Савчук, д-р фіз.-мат. наук, проф.
Рецензент О.Є. Архипов, д-р техн. наук, проф.
ЗМІСТ
Мета та задачі домашньої контрольної роботи ……………………………...4
Короткі теоретичні відомості та приклади розв’язання задач………………4
Логічне слідування………………………………………………………4
Методи перевірки тотожної хибності й тотожної істинності................
формул логіки висловлень………………………………………….…..5
Метод перевірки суперечності й тавтологічності формул шляхом…...
зведення до диз’юнктивної та кон’юнктивної нормальної форми.......6
Метод Девіса й Патнема…………………………………………...........6
Метод резолюцій.......................................................................................8
Метод двійкових діаграм рішень.............................................................9
Приклади застосування методів перевірки тавтологічності та………..
суперечності формул логіки висловлень…..........................................11
Мова логіки першого порядку...............................................................11
Інтерпретації формул логіки першого порядку…...............................14
Пренексна нормальна форма формул логіки першого порядку........18
Перетворення формули у пренексну нормальну форму....................19
Сколемівська стандартна форма формули логіки першого порядку.....20
Підстановки та уніфікатори..................................................................22
Алгоритм уніфікації...............................................................................24
Правило резолюції для формул логіки першого порядку..................26
Вимоги до оформлення домашньої контрольної роботи.............................28
Графік виконання домашньої контрольної роботи.......................................28
Порядок виконання домашньої контрольної роботи....................................28
Оцінювання домашньої контрольної роботи.................................................29
Список рекомендованої літератури................................................................29
Додаток 1...........................................................................................................30
Мета та задачі домашньої контрольної роботи
З метою кращого засвоєння матеріалу курсу та набування навичок самостійної роботи студентам пропонується виконати домашню контрольну роботу (ДКР) за розділом «Математична логіка». Виконання завдань ДКР сприяє більш поглибленому вивченню студентами теоретичного матеріалу, формуванню вмінь використовувати знання для розв’язання практичних задач. При виконанні ДКР студент має продемонструвати володіння методами перевірки логічного слідування, також методами перевірки тотожної істинності (тотожної хибності) формул логіки висловлень та формул логіки першого порядку.
Домашня контрольна робота виконується студентом САМОСТІЙНО із забезпеченням необхідних консультацій з окремих питань з боку викладача.
Наявність позитивної оцінки, отриманої студентом за виконання домашньої контрольної роботи, є необхідною умовою допуску до семестрового контролю з дисципліни.
Короткі теоретичні відомості та приклади розв’язання задач Логічне слідування
Формула F називається логічним наслідком формул F1,…,Fn (позначається F1,…,Fn╞═F), якщо при кожній інтерпретації, при якій усі формули F1,…,Fn істинні, формула F також істинна. Говорять, що формули F1,…,Fn є посилками F, а формула F випливає з F1,…,Fn, або має місце логічне слідування формули F з формул F1,…, Fn.
Формула називається тотожно хибною (суперечною, суперечністю), якщо вона хибна при усіх можливих інтерпретаціях. Формула називається несуперечною, якщо вона не є тотожно хибною.
Теорема 1. Нехай F1, F2, …, Fn, F – формули.
1) F1,F2…,Fn╞═ F тоді й тільки тоді, коли формула F1F2…FnF є тотожно істинною (тавтологією).
2) F1,F2,…,Fn╞═ F тоді й тільки тоді, коли формула F1F2…FnF тотожно хибна (суперечна).
Методи перевірки тотожної хибності й тотожної істинності формул логіки висловлень
Різноманітні задачі у математиці та у інших галузях можуть бути сформульовані як задачі встановлення того, чи випливає деяке твердження з заданої сукупності інших тверджень, тобто як задачі перевірки правильності міркування. Якщо твердження у міркуванні є висловленнями, то задачу перевірки правильності такого міркування можна звести до задачі перевірки логічного слідування формули логіки висловлень, що є перекладом твердження-висновку заданого міркування, з формул, що є перекладами висловлень-посилок цього міркування. Теорема 1, що сформульована вище, дає можливість замінити перевірку логічного слідування формули F з формул F1,…,Fn перевіркою тавтологічності (або суперечності) формули, побудованої з F1,…,Fn, F спеціальним чином. Для установлення тавтологічності (суперечності) деякої формули P логіки висловлень можна використати таблиці істинності й перевіряти істинносні значення формули P при кожній інтерпретації. Ми розглянемо інші методи перевірки тавтологічності та суперечності, які ґрунтуються на поданні формул у спеціальному вигляді, а саме у вигляді тієї чи іншої нормальної форми. Для подання формули у нормальній формі виконуються перетворення даної формули, які зберігають її істинносне значення при кожній інтерпретації.