31. Уравнение Эйлера. Необходимое условие существования экстремума определенного интеграла f(X,y1(X), y'1(X),…yn(X), y'n(X))dx.

+предыдущий (и следующий) вопрос ????????

Вариационная задача для функционала, зависящего от n функций – необходимо найти условия экстремума для функционала

(10)

Зависящего от nфункций у1, у2,…у_nϵС⁽¹⁾, удовлетворяющих граничным условиям

(11)

Ответ дается в виде теоремы: Если система линейно независимых функций у1(х), у2(х),..у_n(х), удовлетворяющих условиям 11, дает экстремум функционалу 10, то она является решением системы дифференциальных уравнений Эйлера

(12)

Вариация функционала 10 записывается в виде

Все приращения hi(x) независимы, поэтому одно из них, напримерh_v, выбираем произвольно с соблюдением граничных условий, а все остальные будем считать равными нулю, т.е.

Из необходимого условия экстремума функционала можем записать, что

(13)

Имеем простейшую вариационную задачу, к ней можно применить теорему, согласно которой у_v(х) должна удовлетворять уравнению . Но равенство 12 можно записать для любогоv=1,2,…n, следовательно, одновременно каждая из функций у1(х), у2(х),..у_n(х) удовлетворяют решению эйлера, т.е их совокупность является решением системы уравнений Эйлера. Система состоит изnуравнений 2 порядка. ЕЕ общее решение содержит 2nпроизвольных постоянных, которые находятся из граничных условий 10.

Пример (??????)

32. Уравнения Эйлера-Пуассона в вариационном исчислении. Пример.

Функционалы, зависящие от производных высших порядков. Рассмотрим вариационную задачу для функционала

(14)

Заданного на множестве функций, принадлежащих пространству С^к и удовлеторяющих граничным условиям

(15)

Получим необходимое условие существования экстремума функционала 14 в случае закрепленных концов 15.

Теорема 3. Если функция у(х)ϵС^к , удовлетворяющая граничным условиям 15, дает экстремум функционалу 14, то она является решением дифференциального уравнения Эйлера-Пуассона

(16_

Вариация функционала записывается в виде

Интегрируя по частям, имеем

Из граничных условий 15 следует что рассмариваемые приращения h(x) удовлетворяют условиям

Интегрируя необходимое число раз второй и последующие интегралы по частям и используя условия 17, получаем

Применяя необходимое условие существования экстремума функционала, заключаем что δI=0. Из замечания к основной лемме вариационного исчисления следует , что функция, дающая экстремум функционалу 14, должна удовлетворять уравнению Эйлера-пуассона 16, имеющего порядок 2к. Общее решение зависит от 2к произвольных постоянных, которые могут быть определены из граничных условий 15.

Поставим задачу — отыскать функцию f(x), для которой первая вариация функционала обращается в нуль:

(59)

Функция f(x) в этом случае называется экстремалью, а значение J(f) — экстремумом функционала.

Равенство (58) не дает сразу ответа для поставленной задачи, так как подынтегральные члены разнородны. Преобразуем правую часть уравнения (58) с помощью интегрирования по частям. Предварительно отметим

(60)

Подобные преобразования дают

(61)

Повторяя интегрирование по частям в последнем члене равенства (61), находим

Теперь условие (59) можно записать так:

Равенство (63) должно быть справедливым для произвольной вариации δf. В частности, если рассматривать вариации δf и δf ‘обращающиеся в нуль на концах интервала, а в промежуточных точках произвольные, то интеграл будет равен нулю только при условии

Это и есть дифференциальное уравнение Эйлера — Пуассона для функции f(x). Опять же в силу произвольности вариации δf должны выполняться краевые условия