30. Уравнение Эйлера. Необходимое условие существования экстремума определенного интеграла вида . Пример. (4 лаб-1 часть)

Теорема 1. Для того чтобы функционал

определенный на множестве функций у = у(х), непрерывную первую производную и удовлетворяющих условиям у(а) = А, у(в) = В достигал на данной функции у(х) экстремума*), необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера

Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями.

Уравнение Эйлера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение должно зависеть, вообще говоря, от двух произвольных постоянных, которые определяются из двух краевых условий у (а) = А и у(Ь) = В.

Отметим, что при решении уравнения Эйлера мы, в отличие от обычной для дифференциальных уравнений постановки вопроса, где ищется решение, определенное в окрестности некоторой точки и удовлетворяющее заданным начальным условиям (задачи Коши), ищем решение, определенное во всей фиксированной области и удовлетворяющее заданным граничным условиям. Поэтому вопрос о разрешимости той или иной вариационной задачи не сводится непосредственно к обычным теоремам существования для дифференциальных уравнений.

Условие Эйлера

Пусть задан функционал

Если функция x дает экстремум на G, то она является решением уравнения Эйлера

Где  дополненное краевыми условиями

Задача 1:

Задача:

Пусть задан функционал

Если функция x дает экстремум наGто она является решением уравнения Эйлера

Где  дополненное краевыми условиями

Решение

Составим уравнение Эйлера: 

Используем краевые условия:

Отсюда

Получаем

- допустимая экстремаль

Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. Только на экстремалях может достигаться экстремум функционала

Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала, интегрируем уравнение Эйлера и определяем обе произвольные постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, из условий на границе , . Только на удовлетворяющих этим условиям экстремалях может реализоваться экстремум функционала.

Напомним, что краевая задача

не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.

Заметим, что во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи, и если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям, единственно, то эта единственная экстремаль и будет решением рассматриваемой вариационной задачи.

Различают вариационные задачи с закрепленными и свободными концами. Начнем с рассмотрения задачи в случае закрепленных концов, как наиболее простой. Задача нахождения экстремума для функционала, зависящего от нескольких функций и их первых производных относится к задаче с закрепленными концами.

. Будем считать, что подынтегральные функции в рассматриваемых функционалах непрерывны и обладают непрерывными частными производными до нужного порядка и сами функционалы непрерывны в рассматриваемом пространстве. Изучим простейшую вариационную задачу для функционала и получим для него необходимые условия в виде дифференциального уравнения.

Функционал

Будем рассматривать на множестве функций у(х) ϵС⁽¹⁾,удовлетворяющих граничным условиям

(2)

Это условие означает, что концы допустимых кривых закреплены.

Ставится следующая вариационная задача. Среди всех функций у(х) с граничным условием (2) найти такие, которые дают экстремум функционалу (1). Решение этой задачи будем проводить только в рамках необходимых условий, для чего рассмотрим теорему.

Теорема 1. Если функция у = у (х) ϵС⁽¹⁾удовлетворяет условиям (2) и дает экстремум функционалу (1), то она является решением уравнения Эйлера

(3)

Пусть функция у(х) дает экстремум функционалу 1. По необходимости условию существования экстремума вариация функционала должна равняться 0

(4)

Интегрированием по частям получаем

Из граничных условий 2 следует что рассматриваемые приращения h(x) должны обращаться в 0 в точках х=а, х=b

(5)

Подставляя значение интеграла в 4 получаем

Но функция  непрерывна на [a,b], аh(x) – любя функция, непрерывная вместе с первой производной на [a,b] и удовлетворяющая условиям 5. Применяя основную лемму вариационного исчисления, заключаем, что , т.е функция у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера (3)

Функции, являющиеся решениями уравнения Эйлера, называют экстремалями.

Теорема 1 дает только необходимое условие существования экстре мума функционала. Но часто само существование экстремума бывает ясно из физических соображений. В этом случае уравнение Эйлера полностью решает вариационную задачу.

Уравнение Эйлера (3) играет фундаментальную роль во всем вари ационном исчислении. Оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение зависит от вух произвольных постоянных. В задаче Коши эти произвольные постоянные находились из начальных условий. Здесь мы имеем другую задачу для Дифференциальных уравнений — краевую задачу, в которой произвольные постоянные находятся из граничных условий.

Задачи, решаемые классическим вариационным исчислением, являются частным случаем общей задачи оптимального управления и решаются принципом максимума. Рассмотрим некоторые результаты, которые исторически были получены значительно раньше принципа максимума и нашли широкое применение в различных областях науки и техники. Ограничимся лишь необходимыми условиями оптимальности.

Рассмотрим задачу оптимизации простейшего функционала: среди непрерывных и дифференцируемых функций  , проходящих через заданные точки

, (11.1)

найти функцию  , доставляющую минимум функционалу

(11.2)

где  - непрерывная и дважды дифференцируемая функция своих аргументов.

Сведем задачу к задаче оптимального управления.

Введем переменную  , тогда функционал (11.2) примет вид

(11.3)

при связи

(11.4)

и граничных условиях (11.1), что дает задачу оптимального управления. (Заметим только, что в задаче оптимального управления  допускает разрывы 1-го рода, а мы считаем непрерывной). Применим принцип максимума:

1.  ,

2.  .

3. Из необходимых условий максимума HпоU:

,

. (11.5)

4. Система уравнений

(11.6)

(11.7)

сводится к одному уравнению. Из (11.7)

.

Подставляя последнее выражение в (11.5) и используя (11.4), получаем

.

Этим доказана следующая теорема.

Теорема (1-е необходимое условие максимума). Элемент минимума функционала

удовлетворяет уравнению

, (11.8)

которое называют уравнением Эйлера, а функции, удовлетворяющие ему, -экстремалями. Уравнение (11.8) есть обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка, граничные условия, необходимые для однозначного его решения, задаются (11.1).