26. Нахождение безусловных экстремумов функции от многих переменных. Пример.

Решение такой задачи связано с нелинейным программированием. В таких задачах отсутствуют ограничения.

Методы:

1. Аналитический.

Постановка задачи: Задана функция нескольких переменных f(х1, х2...хn) → min (max). Требуется найти такие вектора , , , при которых функция минимальна.

Пример:

Найти экстремумы функции

1. Итерационные методы: покоординатного и наискорейшего спуска.

Постановка задачи:

27. Нахождение условных экстремумов функции от многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Пример.

ИЗ ЛЕКЦИЙ АНДРЮХИНА (ВОЗМОЖНО ОТНОСИТСЯ К ВОПРОСАМ 28-35 !!!!!!) :

Вариационное исчисление

ИНФОРМАЦИЯ, НАЙДЕННАЯ В ИНТЕРНЕТЕ:

Вариационными задачи на условный экстремум (связанный экстремум) называются задачи, в которых требуется найти кривые, доставляющие экстремум функционалу, при этом помимо граничных условий они должны удовлетворять некоторым связям (условиям). Например, эти кривые должны иметь заданную длину (изопериметрическая задача) либо удовлетворять некоторой заданной системе дифференциальных уравнений (задача Лагранжа), либо лежать на некоторой поверхности.

Правило множителей Лагранжа. Если допустимая пара u(t), x(t)) является решением задачи оптимального управления (10.28)—(10.31)

, то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа (10.33) и (10.34)

. В соответствии с этим правилом, чтобы найти оптимальное управление и оптимальную траекторию, надо решить совместно уравнения (10.28), (10.29), (10.33) и (10.34) при краевых условиях (10.30). Уравнения Эйлера—Лагранжа получены при предположении, что управление u{t) является непрерывной функцией, а траектория х(t) — гладкой на интервале [t0,tj], Правило множителей Лагранжа остается справедливым и в том случае, когда u(t) принадлежит классу кусочно-непрерывных функций, а х(t) — классу кусочно-гладких функций. Только если оптимальное управление u(t) имеет разрыв 1-го рода в каких-либо точках (эти точки называются угловыми), то оно само и соответствующая ему траектория x(t) должны удовлетворять указанным выше уравнениям лишь в точках непрерывности управления. В угловых точках должны выполняться так называемые условия Вейерштрасса—Эрдмана

(10.35)

где индексы «—» и «+» обозначают левый и правый пределы соответствующих функций.

Множители Лагранжа определяются с точностью до постоянного множителя. Действительно, они входят в уравнения Эйлера —Лагранжа линейно н однородно, и уравнения не изменяются, если все множители умножить на одно и то же постоянное число. Поэтому один из постоянных множителей Лагранжа, не равный нулю, можно приравнять любому отличному от нуля заданному числу. Условимся в неособом случае (ψ₀ не равно 0) принимать ψ₀ = —1. Дальше, если особо не оговаривается, будет подразумеваться неособый случай.

Для определения 2n + r + l неизвестных xi,i = 1, 2, ... n, ψ_i, i=1,2,…nu_j, j=1,2,…r и λ_к к=1,2,….l имеется столько же уравнений. Но среди них имеется 2n дифференциальных уравнений, при решении которых появится 2n неизвестных (постоянные интегрирования). Эти неизвестные можно найти из краевых условий (10.30), которые содержат 2n соотношений. Таким образом, решение исходной вариационной задачи свелось к решению краевой задачи Коши.

Отметим еще раз, что уравнения Эйлера—Лагранжа являются только необходимым условием, т. е. любое решение исходной задачи является экстремалью, но не любая

экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, является решением. Но если решение задачи существует и экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, единственна, то,

очевидно, эта экстремаль и будет решением.

Рассмотрим функцию z=f(x,y) определенную и дифференцируемую в областиG. Если аргументы функцииf(х,у) в этой области связаны дополнительными условиями в виде φ(х,у) = 0(функция кривой в этой области), где функции φ_iимеют непрерывные частные производные, то уравнения называются уравнениями связи.Нужно найти экстремумы функции f(x,y) только среди тех ее значений, которые соответствуют точкам этой кривой(φ(х,у) = 0). Экстремум функцииf(х,у) п ри выполнении этого условия называется условным экстремумом.

Способы нахождения условного экстремума:

1.из уравнения связи выражаем одну переменную и поставляем в другую

2.методом Лагранжа (исследуется на обычный экстремум функция Лагранжа).

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

Из этой системы m+2 уравнений с m+2 неизвестными находят значения неизвестных х,у,

( ). Числа называются коэффициентами Лагранжа.