16. Теорема о числе решений фундаментальной системы решений.

Максимальная лнз сист. назыв. фундаментальной сист. реш.(фср).

Теорема(о числе решений входящих в ФСР)

17. Умножение матриц. Обратная матрица. Сумма матриц и умножение матрицы на число.

18. Линейное пространство. Определение, примеры.

Мн-во L наз. лин. пр-вом, а его элем. – векторами, если:

– заданна опер. сложение ₳ х є L x+y є L

– задана операция умножения вектора на действ. число. ₳ α є R, ₳ х є L , α x є L

– для этих операций справедливо 8 св-в ₳ х, y, z є L, ₳ α є R:

19. Теорема о линейной зависимости системы m векторов n-мерного пространства при m>n. Теорема о базисе n-мерного пространства.

В-ры х₁,..., х_n назыв. лин.зависимыми, если сущ. числа α₁,…, α_n которые (α₁²+…+ α_n²≠0): α₁х₁+…+ α_nх_n=0

В-ра х₁,..., х_n назыв. лин.независимыми, если из рав-ва α₁х₁+…+ α_nх_n=0 => α₁=…=α_n=0

Теорема.

В-ры х₁,..., х_n линейны <=>один из в-ров раскладыв. по остальным.

Базисом лин. пр-ва назыв. упорядоченная сист. в-ров, если она: – лнз; – любой в-р пр-ва по ней раскладывается.

Пример:

L – мн-во многочленов от одной переменной, степень кот. не превосходит n.

P_n(x)=a₀+a₁x+ a₂x²+…+ a_nxⁿ. a_i є R. Линейное пр-во 1; x; x²;…;xⁿ – ЛНЗ.

α₀+ αх+ α₂х²+…+ α_nхⁿ  α₀= α₁=…= α_n=0.

Любой многочлен P_n рассм. по этой сист. а корд.a₀, a₁,…, a_n.

Лин. пр-во, в кот. сущ. базис из n-в-в, назыв. n-мерным пр-вом.

Число n – размерность пространства. n=dim(L)

В n-мерном пр-ве любая сист. из m в-ров линейнозависима, если m>n.

Док-во

Базис e₁, e₂,…,e_n. Рассм. f₁,..., f_m, m>n.

Каждый из в-в f_i разложим по базису e₁, e₂,…,e_n и сост. матрицу из корд. столбцов. (n x m). Ранг этой матрицы не превосходит n => столбцы матрицы линейнозав., чтд.

Теорема2. Теорема3.

В n-мерном пр-ве каждая упорядоченная сист.из n ЛНЗ В n-мерном пр-ве любую упорядоч. ЛНЗ сист.из k<n в-ров можно

в-в образует базис. доп. до базиса.

20. Замена базиса. Матрица перехода. Связь между координатами одного и того же вектора в разных базисах.

Матрица, столбцы кот. явл. корд. столбцами в-в е^/ в базисе е, наазыв. матрицей перехода от базиса е к базису е^/

21. Линейное подпространство. Определение, примеры. Сумма и пересечение подпространств.

Непустое подмножество L^/ в-в линейного пространства L (L^/ с L) назыв. линейным подространством, если:

1. Сумма любых в-в из L^/ с L.

2. Произвед. любого в-ра из L^/ на число α є R, тоже принадлежит L^/.

Пересечение подпространств L^/ ˄L^//независимое множество в-в, кот. принадлежат обоим подпространствам.

dim (L^/ ˄L^//)=dim L^/ +dim L^//-dim(L^/ +L^//); dim (L^/ +L^//)=dim L^/ +dim L^//-dim(L^/ ˄L^//); dim (L₁+L₂+…+L_k) ≤ dim L₁+…+dimL_k

Сумма попр-в назыв. прмой суммой, если её размерность равна сумме размерностей подпр-в. L^/ +L^//; dim(L^/ +L^//)=dim L^/ +dimL^//.