10. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

α_{1 __} β_{1 __ _ _} α₁ + β_{1 _ _} λα₁

: = α n-мерный вектор : = β α + β= : λα = :

α_n β_n α_n + β_n λα_n

Векторное пространство – совокупность n-мерных в-в с действ. комп., рассм. с определенными в ней операциями сложения в-в и умножения в-ра на число.

Сист. в-в α_1,..., α_s назыв. линейно зависимой, если сущ. числа k_1,…, k_s (k₁²+...+ k_s²≠0),

k₁α₁+...+ k_sα_s=0.

Сист. в-в α_1,..., α_s назыв. линейно независимой, если из рав-ва k₁α₁+...+ k_sα_s=0 => k₁=…=k_s.

В-р β назыв. линейной комбинацией в-в α_1,..., α_s, если сущ. числа k_1,…, k_s: β= k₁α₁+...+ k_sα_s.

Сист. в-в β_1,…, β_s, линейно выражаются через сист. α_1,..., α_s, если любое β_i(i=1;..;s) явл. лин. комб. в-в α_1,..., α_s.

2-е сист.в-в назыв. эквивалентными, если каждая из них выражается через другую.

Метод Гауса (метод последовательного исключения неизвестных)

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а_1nх_n=b₁ а₁₁ а_{12 …} а_1n b₁

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+...+ а_2nх_n=b₂ а₂₁ а_{22 …} а_2n b₂

…………………………. ………………...

а_m1х₁+ а_m2х₂+...+ а_mnх_n=b_m а_m1 а_{m2 …} а_mn b_m

Путем строчных преобразований приводим матрицу к треугольному виду. Под строчными преобразованиями понимаем следующее: умножение на число отличное от 0, складывать, менять местами, вычитание.

Пример:

2х₁+ х₂+6х₃=6 2 1 6 6 1 1 6 7 1 1 6 7 1 1 6 7

3х₁­+2х₂+8х₃=3 3 2 8 3 ~ 3 2 8 9 -3I ~ 0 -1 -10 -12 ~ 0 -1 -10 -12

х₁­+х₂+6х₃=7 1 1 6 7 2 1 6 6 -2I 0 -1 -6 -8 -I I 0 0 4 4

х₁­+х₂+6х₃=7 х₁=-1

-х₂-10х₃= -12 х₂=2

4х₃=4 х₃=1

Пример:

2х₁+7х₂+3х₃+х₄=6 2 7 3 1 6 -II -1 2 1 -1 2 -1 2 1 -1 2 r=2

3х₁+5х₂+2х₃+2х₄=4 3 5 2 2 4 3 5 2 2 4 +3I ~ 0 11 5 -1 10 n=4

9х₁+4х₂+х₃+х₄=2 9 4 1 1 2 -3II 0 -11 -5 1 -10 0 -11 -5 1 -10 n-r=2

х₁, х₂ – базисные неизвестные; х₃=с₃; х₄=с₄ – свободные.

11х₂+5х₃-х₄=10; х₂=(10-5с₃+с₄)/11=10/11-5с₃/11+с₄/11; х₁-2х₂-х₃-х₄= -2

х₁=2(10/11-5с₃/11+с₄/11)+с₃-с₄-2= -2/11+с₃/11-9с₄/11

Частные

х₁ -2/11+ с₃/11+9с₄/11 -2/11 1 -9 х₁= -2/11

х₂ 10/11-5с₃/11+с₄/11 10/11 -5 1 х₂=10/11

х₃ с₃ 0 11 -9 х₃=0

х₄ с₄ 0 0 11 х₄=0