6. Параметрические колебания. Уравнение Матье-Хилла.

Колебания называются параметрическими, если они обусловлены периодическим изменением какого-либо параметра системы (например, индуктивности катушки или ёмкости коденсатора в колебательном контуре). Отличительная черта параметрических колебаний состоит в том, что возбуждение не происходит , если осциллятор находится в положении равновесия. Сколь угодно малое возмущение может вызвать параметрические колебания.

уравнение Матье :

6. Релаксационные колебания. Уравнение Ван-дер-Поля.

Под релаксационными понимаются такие колебания, которые имеют явно выявленную несинусоидальную форму. Источники релаксационных колебаний могут быть разбиты на два типа. В источниках первого типа (генераторах) колебания несинусоидальной формы генерируются непосредственно. Ко второму типу относятся генераторы, в которых синусоидальное напряжение преобразовывается в напряжение несинусоидальной формы. Последние называются также генераторами-преобразователями. Процесс релаксационных колебаний может быть подобным же образом разделён на два этапа. В первом этапе происходит накопление энергии, а во втором - её отдача.

ВАН ДЕР ПОЛЯ УРАВНЕНИЕ - нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Уравнение эквивалентно системе двух уравнений относительно фазовых переменных х, v:

11. Понятие волны. Волновое число. Вывод уравнения плоской волны.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или ВОЛНОЙ)

Для характеристики синусоидальной волны используется волновое число

k = 2/ = 2/ = /

Волновым числом k называется быстрота роста фазы волны  φ по пространственной координате.

11. Фазовая и групповая скорость волн.

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.

(t - х/) + ₀ = const. (5.2.5)

Продифференцировав выражение (5.2.5), получим = 0, откуда:

Следовательно, скорость υ распространения волны в уравнении (5.2.6) есть не что, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

За скорость распространения этой несинусоидальной волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что td - xdk = const, получим

(5.3.1)

Скорость и есть групповая скорость. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет.

11. Волновое уравнение и его решение. Плоские и сферические волны. Объемная плотность и плотность потока энергии упругих волн.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t:

Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости

Плоская волна — волна, фронт которой имеет форму плоскости.

Фронт плоской волны неограничен по размерам, вектор фазовой скорости перпендикулярен фронту. Плоская волна является частным решением волнового уравнения и удобной моделью: такая волна в природе не существует, так как фронт плоской волны начинается в и заканчивается в , чего, очевидно, быть не может. Кроме того, плоская волна переносила бы бесконечную мощность, и на создание плоской волны потребовалась бы бесконечная энергия.

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической. Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. )

Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

Сферическая волна — волна, фронт которой представляет собой сферу.

Вектор фазовой скорости сферической волны ориентирован в радиальном направлении от источника ("волна радиально расходится от источника"). Сферическая волна является удобной моделью, в реальности фронт волны отличается от сферического из-за особенностей источника и неоднородности пространства.

Объемная плотность и плотность потока энергии упругих волн.

Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемных плотностей и электрического и магнитного полей:

Умножив плотность энергии w на скорость υ распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии – поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени: