5. Декремент затухания. Добротность колебательной системы с выводом.

Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t +T

A(t)/A(t+T) = A₀e^{- t}/A₀e^{- (t+T)} = e^-t/(e^-t  e ^{- t}) = e^T

 - коэффициент затухания.

Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания.

= ln A(t)/A(t + T) = lne^T = T (З.За)

Выясним физический смысл  и 

Обозначим через  -время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз. A₀ /A_Ί = e^ = e¹, откуда β = 1, β = 1/. Следовательно, коэффициент затухания β - есть физическая величина, обратная времени, в течении которого амплитуда уменьшается в е раз.  - время релаксации. Пусть N_е число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз,  - время этих колебаний, тогда  = ΝΤ, Τ=  /Ν и  = βΤ =  /  N = 1/N,  = 1/N

Следовательно, логарифмический декремент затухания  есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечению которых амплитуда А уменьшается в e раз. Если  = 0,01, то N = 100.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина θ = / = N_e, (З.Зб)

Называемая добротностью колебательной системы. Как видно из её определения, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

6. Резонанс. Вывод формул для амплитуды и фазе при резонансе. Привести резонансные кривые, проанализировать частотную зависимость.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы называется явлением резонанса.

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных). Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора. Из формулы (27.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту ω_рез — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (27.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по ω и приравняв нулю, получим условие, определяющее ω_рез:

Это равенство выполняется при ω = 0, ± ω₀² - 2β², физический смысл которых имеет лишь положительное значение. Следовательно, резонансная частота

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). В случае когда β² << ω₀², значение практически совпадает с собственной частотой ω₀ колебательной системы. подставляя в формулу , получим

чем меньше β, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если   0, то все кривые (см. также (27.8)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля предельному значению х₀/₀², так называемому статическому отклонению. В случае механических колебаний х₀/₀² = F₀/(m₀²), в случае электромагнитных  (U_m/(L₀²). Если ₀  , то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.