3. Вынужденные колебания (привести схемы технической реализации и записать уравнения).

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону: X (t) = Х_о cos t.

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила: F = F₀ cos t.

С учетом силы закон движения для пружинного маятника запишется в виде ,

r - коэффициент сопротивления, - скорость движения. kx - возвращающая сила, - сила трения. Используя r/2m =  k/m = ₀², придем к уравнению

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э. д. с. или переменное напряжение:

U = U_m cos t.

Тогда:

Используя ₀ = 1/LC и  = R/2L, придем к уравнению

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э. д. с, называются соответственно вынужденными механическими или электромагнитными колебаниями.

Уравнения можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению: . Применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (х₀ в случае механических колебаний равно F₀/m, в случае электромагнитных - U_m/L).

Решение данного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (27.5) на комплексную величину х_ое^it:

Частное решение этого уравнения будем искать в виде s = s₀e^it.

Подставляя выражения для s и его производных в уравнение , получим:

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что  = . Учитывая это, из последнего уравнения найдем величину s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на :

Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме: , где ,

Следовательно, решение уравнения (27.6) в комплексной форме примет вид:

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:

Установление колебаний

4. Сложение колебаний. Биения.

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х₁ и х₂₅, которые запишутся в следующим образом: x₁ = а₁cos(t+α₁), x₂ = а₂cos(t+α₂).

Представим оба колебания с помощью векторов а₁ и а₂. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор а (рис. 25.3).

Построим векторные диаграммы этих колебаний. Так как векторы а₁ и а₂ вращаются с одинаковой круговой скоростью ₀, то разность фаз (α₂ - α₁) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет x= х₂ + х₁ = аcos(₀t + α) (25.1)

В выражении (25.1) амплитуда а и начальная фаза α соответственно задаются соотношениями

а² = а₁²+ а₂² - 2а₁а₂сos[- (φ₂ - φ ₁)] = а₁² + а₂²+ 2а₁а₂сos(φ ₂ - φ ₁);

tgα = (а₁sin φ ₁ + а₂sin φ ₂)/ (а₁cos φ ₁ + а₂cos φ ₂). (25.2)

Т.о., тело, участвуя одновременно в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершают гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз φ = φ₂ - φ₁ складываемых колебаний.

Проанализируем выражение (25.2) в зависимости от разности фаз (φ₂ - φ₁ ):

1. φ ₂ - φ ₁ =  2m (m= 0,1,2,….) тогда а = а₁+ а₂ , т.е. амплитуда результирующего колебания а равна сумме амплитуд складываемых колебаний; колебания синфазны

2. 2. φ ₂ - φ ₁ =  (2m+1) (m= 0,1,2,….) тогда а = а₁ - а₂, т.е. амплитуда результирующего колебания а равна разности амплитуд складываемых колебаний. колебания в противофазе

В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются БИЕНИЯМИ.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны а, а частоты равны  и  +   , причем   . Начало отсчета выбираем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда уравнения колебаний будут иметь следующий вид:

x₁= аcost, x₂= аcos(+)t.

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем

x = а(cost+cos(+)t = (2аcos/2t)cost, (25.3)

Во втором сомножителе мы пренебрегли /2, т.к. /2 << 

Результирующее колебание (25.3) можно рассматривать как гармоническое с частотой , амплитуда а_б которого изменяется по следующему периодическому закону

а_б = |2аcos/2t |, (25.4)

х= (2аcos/2t) cost

График функции (25.3) изображен на рис. 25.4.

рис. 25.4 а

Заключенный в скобки множитель в формуле (25.3) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия /2 <<  за то время, за которое множитель cost совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (25.3) как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, т.к. он изменяется в пределах от –2а до +2а, в то время как амплитуда по определению – положительная величина. График амплитуды показан на рис 25.4,б. Аналитическое выражение для амплитуды, очевидно, имеет вид (25.4).

рис. 25.4 б

Функция (25.4) – периодическая функция с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знакомом модуля (см. рис. 25.5., на котором сопоставлены графики косинуса и его модуля), т.е. с частотой . Т.о., частота пульсаций амплитуды – её называют частотой биений – равна разности частот складываемых колебаний.

рис. 25.5

Отметим, что множитель 2аcos/2t не только определяет амплитуду, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см. точки М₁ и М₂₅ на рис. 25.4,а).

Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями - наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.

Любые сложные периодические колебания S = f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами кратными циклической частоте ₀:

S(t)=f(t)=а₀/2+а₁cos(₀t+)+а₂cos(2₀t+₂)+..+а_ncos(n₀t+_n) (25.5)

Представление периодической функции в виде (25.5) связывают с понятием ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СЛОЖНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ, ИЛИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУРЬЕ. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ₀, 2₀, 3₀, . . ., называются ПЕРВОЙ (ИЛИ ОСНОВНОЙ), второй, третьей и т.д. ГАРМОНИКАМИ сложного периодического колебания.